こんにちは。相城です。2020年2月に徳島県で行われた中2の基礎学力テストの問題から平面図形の問題をお届けします。それではどうぞ。
下の図は、長方形ABCDを対角線BDを折り目として折り返したものである。ADとBEの交点を点Pとするとき、次の(1)~(3)に答えなさい。
(1) のとき、
の大きさを求めなさい。
(2) △ABP△EDPであることを証明しなさい。
(3) AP6cm、PB
10cmのとき、△APBの面積は長方形ABCDの面積の何倍になるか求めなさい。
![](https://mathtext.info/blog/wp-content/uploads/2020/02/1yohaku.png)
答え
(1) 25![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
より、
。
△EBD≡△CBDより、
。AD//BCより錯角は等しいので、![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{PDB}}=\angle{\text{CBD}}=25^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd4f886d059130df211a4934e889081_l3.png)
(2)
△ABPと△EDPで
仮定より、
AB
ED・・・①
・・・②
対頂角は等しいので、
・・・③
②、③と三角形の内角の関係により
・・・④
①、②、④より、
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABP
△EDP
※△PBDが二等辺三角形であることを示し、PB
PDを示し、直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいでも可。
(3)
倍
△APBは△ABDの
倍である。また、△ABDは長方形ABCDの
倍であるから、長方形の面積を
とすると、
△APB![Rendered by QuickLaTeX.com =S\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{16}S](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aa06ca91149ca6012dbfae6ca22ed02_l3.png)
よって
倍
【アドバンスド】三角形を上底が0の台形とし、長方形を上底と下底が等しい台形とみると、△APBと長方形ABCDは高さが等しいので面積比は(上底+下底)の比になる。
よって、△APB : 長方形ABCD
(0
6) : (16
16)
3 : 16
したがって
倍
![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABP}}=40^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-162fef95475537de84e0777e627884c7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{EBC}}=50^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-824b866a5e9d86856a349af1ea6bd524_l3.png)
△EBD≡△CBDより、
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{EBD}}=\angle{\text{CBD}}=50^{\circ}\div2=25^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c0defe57a80d46b10c968b36d820899_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{PDB}}=\angle{\text{CBD}}=25^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd4f886d059130df211a4934e889081_l3.png)
(2)
△ABPと△EDPで
仮定より、
AB
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{PAB}}=\angle{\text{PED}}=90^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-908b89946fd529983e5fbfb4623cb002_l3.png)
対頂角は等しいので、
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{APB}}=\angle{\text{EPD}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10d22f15423e31a6151aa33ad0a72ea5_l3.png)
②、③と三角形の内角の関係により
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABP}}=\angle{\text{EDP}}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06a7967572cf2f0fb166d1a42d517417_l3.png)
①、②、④より、
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABP
![Rendered by QuickLaTeX.com \equiv](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-366b6092f94455eb2f8df6d17fbeaf46_l3.png)
※△PBDが二等辺三角形であることを示し、PB
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
(3)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{3}{16}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45caf0222c056266da508139390b3597_l3.png)
△APBは△ABDの
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{3}{8}\left(\dfrac{6}{16}\right)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c125dd0eade9e249383f3908264e63b9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{1}{2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8ced9577568cba5eaefc12e9aa6cb1b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-552c3ef4b0a2dda2f9f5c305aa7e58eb_l3.png)
△APB
![Rendered by QuickLaTeX.com =S\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{16}S](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aa06ca91149ca6012dbfae6ca22ed02_l3.png)
よって
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{3}{16}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45caf0222c056266da508139390b3597_l3.png)
【アドバンスド】三角形を上底が0の台形とし、長方形を上底と下底が等しい台形とみると、△APBと長方形ABCDは高さが等しいので面積比は(上底+下底)の比になる。
よって、△APB : 長方形ABCD
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com +](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05372daad30c1bb5229ff233e6fa6f47_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com +](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05372daad30c1bb5229ff233e6fa6f47_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
したがって
![Rendered by QuickLaTeX.com 3\div16=\dfrac{3}{16}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53bd9b5038211d55c2ff6e907f4d6e70_l3.png)