こんにちは。相城です。今回は3項間の漸化式について書いておきます。
3項間漸化式の解法の大まかな流れ
漸化式について,
は次のようにして求めることができる。漸化式の
,
,
をそれぞれ,
,
,
で置き換えた特性方程式
の解を
,
とする。
このとき, は
と同値なので,
,
,
をそれぞれ
,
,
で置き換えると
展開すると,
左辺にを残して, 残りを右辺に移項して
でくくると,
同様に, 左辺にを残して, 残りを右辺に移項して
でくくると,
このを用いて一般項
を求めることになる。
以下に特性方程式の解が
(異なる2つの解),
(重解),
,
の一方が1になる場合について例題と解き方を書いておきます。
異なる2つの解(α≠βのとき)
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項
を求めなさい。
【解法】特性方程式とすると,
なので,
として, 漸化式を変形すると,
より, 数列
は初項
, 公比3の等比数列である。したがって,
また, 同様に, より, 数列
は初項
, 公比2の等比数列である。したがって,
で,
を消去して,
を求めると,
(答)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha, \beta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4b2ae318bdcaca10ccf19df480f6d8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a18c85aa95f8a620c1b28a7c95219fde_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-476cf15553b767371a0f15bf74224571_l3.png)
と変形する。
変形した2つの式から, それぞれ数列を求める。
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6c409597cd1edd40f9cf5a0814f6312_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}-\alpha a_n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1954ecd7dbd2f93050a6933e217dd47a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2a2dceb194f8d45d6b1df9b752df93f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0caddd1d027af04be04074eaacc3ce9d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}-\beta a_n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bd4d7076f6e5feee7a611a737878656_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}-\beta a_n=(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-437a19639579570984eb556f651a1e36_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 3}, \textcircled{\scriptsize 4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8fb91c3f9634be4ad4ebdebac4acd6a9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-376868e11fc4a8e08744c5cf3dfcc48b_l3.png)
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重解のとき(α=βのとき)
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項
を求めなさい。
【解法】特性方程式とすると,
となり,
として, 漸化式を変形すると,
は, 初項
, 公比
の等比数列である。したがって,
ここで, 両辺をで割ると,
よって, 数列は, 初項
, 公差
の等差数列である。したがって,
(答)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9da9c1b46f8817a14a1dc17dab7d2a84_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-515fd3ad826b642ecd161917ee01a9fa_l3.png)
と変形する。
変形した式から,
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\alpha^{n-1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e0b3238106b9c9baba340972e2d54f5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha^{n+1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38fa04718462357c3cf6ea343ae23742_l3.png)
以下の等差数列の形に持ち込み解く。
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\dfrac{a_n}{\alpha^n}=d](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d0eb3f5373eadfa4f2121649c05ccc9_l3.png)
解に1を含むとき(αかβが1のとき)
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項
を求めなさい。
【解法】特性方程式とすると,
なので,
として, 漸化式を変形すると,
より, 1を略して書くと, より,
数列は, 初項
, 公比
の等比数列である。したがって,
これは, 2項間の階差数列が等比数列になることを表している。
したがって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha, 1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c934d4f216c0b54e07ee810b0d07108e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+2}- a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}- a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b9bfe8d05e44131572085665c9f91fa_l3.png)
と変形する。
変形した式から,
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{n+1}- a_n=(a_2-a_1)\alpha^{n-1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0db9686a54b3d7a616031aaad44f9c3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (a_2-a_1)\alpha^{k-1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f424178607182c2197b9c20687b6fd0_l3.png)