高校数学：二項定理Cの秘密？

こんにちは。相城です。今回は高校数学から二項定理のお話を少し。生徒から何で二項定理ってCが出てくるの？って聞かれることがたまにあります。その理由というか, ヒントになればと思い書いてみます。

二項定理とは

まず二項定理とは、
$(a+b)^n={}_{n}\mathrm{C}_0 a^{n}+{}_{n}\mathrm{C}_1 a^{n-1}b+{}_{n}\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2+\cdots{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_n b^n$
です。今回はここに出てくる ${}_{}\mathrm{C}_{}$ についてのお話です。

仕組みを見ていこう

それでは今から $a+b$ を使って, $(a+b)^2$ , $(a+b)^3$ , $(a+b)^4$ を展開していきます。わかりやすく？するために, 累乗の指数は使わず, 積の順に左から並べていくように記述していきます。
例： $a\times b=ab$ , $ab\times a=aba$ , $bba\times b=bbab$ と表します。

※2乗
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb$
$aa$ の $a^2$ の組が1個,
$ab$ という文字の組は2個 $( ab, ba )$ ,
$bb$ の $b^2$ の組が1個
※3乗
$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(aa+ab+ba+bb)(a+b)$
$=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb$
$aaa$ の $a^3$ の組が1個,
$a$ が2個、 $b$ が1個の $a^2b$ の組は3個 $( aab,\ aba,\ baa )\cdots\maru{1}$ ,
$a$ が1個、 $b$ が2個の $ab^2$ の組は3個 $( abb,\ bab,\ bba )\cdots\maru{2}$ ,
$bbb$ の $b^3$ の組が1個
※4乗
$(a+b)^4=(a+b)^3(a+b)=$
$(aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb)(a+b)=$
$aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+$
$baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb$
$aaaa$ の $a^4$ の組が1個,
$a$ が3個, $b$ が1個の $a^3b$ の組は4個 $( aaab,\ aaba,\ abaa,\ baaa )\cdots\maru{3}$ ,
$a$ が2個, $b$ が2個の $a^2b^2$ の組は6個 $( aabb,\ abab,\ abba,\ baab,\ baba,\ bbaa )\cdots\maru{4}$ ,
$a$ が1個, $b$ が3個の $ab^3$ の組は4個 $( abbb,\ babb,\ bbab,\ bbba )\cdots\maru{5}$
$bbbb$ の $b^4$ の組が1個

上記の3乗について考えると, $\maru{1}, \maru{2}$ は3個の置き場所(〇〇〇)の中に1か所, または2か所を選んで $b$ を配置する組み合わせと同じなので, $a^2b$ の係数は ${}_{3}\mathrm{C}_1=3$ , $ab^2$ の係数は ${}_{3}\mathrm{C}_2=3$ となります。また, $a^2b$ の係数は $a$ が2個, $b$ が1個でできる組み合わせの総数となるので, $\dfrac{3!}{2!}=3$ , 同様に $ab^2$ の係数は $a$ が1個, $b$ が2個でできる組み合わせの総数となるので, $\dfrac{3!}{2!}=3$ として, それぞれ係数を求めてもいいでしょう。

4乗の場合も同様に考えると, $\maru{3}, \maru{5}$ は4個の置き場所(〇〇〇〇)の中に1か所, または3か所を選んで $b$ を配置する組み合わせと同じなので, $a^3b$ の係数は ${}_{4}\mathrm{C}_1=4$ , $ab^3$ の係数は ${}_{4}\mathrm{C}_3=4$ となります。また, ④は4か所の(〇〇〇〇)の中から2か所を選んで $b$ を配置する組み合わせと同じなので, $a^2b^2$ の係数は ${}_{4}\mathrm{C}_2=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6$ となります。3乗のときも触れましたが, $a^3b$ 、 $ab^3$ の係数は, それぞれ, $a$ が3個と $b$ が1個でできる組み合わせの総数と $a$ が1個と $b$ が3個でできる組み合わせの総数となるので, ともに $\dfrac{4!}{3!}=4$ , $a^2b^2$ の係数は, $a$ が2個 $b$ が2個でできる組み合わせの総数となるので, $\dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6$ となります。