高校数学:二項定理Cの秘密?

こんにちは。相城です。今回は高校数学から二項定理のお話を少し。生徒から何で二項定理ってCが出てくるの?って聞かれることがたまにあります。その理由というか, ヒントになればと思い書いてみます。

二項定理とは

まず二項定理とは、
(a+b)^n={}_{n}\mathrm{C}_0 a^{n}+{}_{n}\mathrm{C}_1 a^{n-1}b+{}_{n}\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2+\cdots{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_n b^n
です。今回はここに出てくる{}_{}\mathrm{C}_{}についてのお話です。

仕組みを見ていこう

それでは今からa+bを使って, (a+b)^2, (a+b)^3, (a+b)^4を展開していきます。わかりやすく?するために, 累乗の指数は使わず, 積の順に左から並べていくように記述していきます。
例:a\times b=ab, ab\times a=aba, bba\times b=bbabと表します。


※2乗
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb
aaa^2の組が1個,
abという文字の組は2個( ab, ba ),
bbb^2の組が1個
※3乗
(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(aa+ab+ba+bb)(a+b)
=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb
aaaa^3の組が1個,
aが2個、bが1個のa^2bの組は3個( aab,\ aba,\ baa )\cdots\maru{1},
aが1個、bが2個のab^2の組は3個( abb,\ bab,\ bba )\cdots\maru{2},
bbbb^3の組が1個
※4乗
(a+b)^4=(a+b)^3(a+b)=
(aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb)(a+b)=
aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+
baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb
aaaaa^4の組が1個,
aが3個, bが1個のa^3bの組は4個( aaab,\ aaba,\ abaa,\ baaa )\cdots\maru{3},
aが2個, bが2個のa^2b^2の組は6個( aabb,\ abab,\ abba,\ baab,\ baba,\ bbaa )\cdots\maru{4},
aが1個, bが3個のab^3の組は4個( abbb,\ babb,\ bbab,\ bbba )\cdots\maru{5}
bbbbb^4の組が1個

上記の3乗について考えると, \maru{1}, \maru{2}は3個の置き場所(〇〇〇)の中に1か所, または2か所を選んでbを配置する組み合わせと同じなので, a^2bの係数は{}_{3}\mathrm{C}_1=3, ab^2の係数は{}_{3}\mathrm{C}_2=3となります。また, a^2bの係数はaが2個, bが1個でできる組み合わせの総数となるので, \dfrac{3!}{2!}=3, 同様にab^2の係数はaが1個, bが2個でできる組み合わせの総数となるので, \dfrac{3!}{2!}=3として, それぞれ係数を求めてもいいでしょう。


4乗の場合も同様に考えると, \maru{3}, \maru{5}は4個の置き場所(〇〇〇〇)の中に1か所, または3か所を選んでbを配置する組み合わせと同じなので, a^3bの係数は{}_{4}\mathrm{C}_1=4, ab^3の係数は{}_{4}\mathrm{C}_3=4となります。また, ④は4か所の(〇〇〇〇)の中から2か所を選んでbを配置する組み合わせと同じなので, a^2b^2の係数は{}_{4}\mathrm{C}_2=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6となります。3乗のときも触れましたが, a^3bab^3の係数は, それぞれ, aが3個とbが1個でできる組み合わせの総数とaが1個とbが3個でできる組み合わせの総数となるので, ともに\dfrac{4!}{3!}=4, a^2b^2の係数は, aが2個bが2個でできる組み合わせの総数となるので, \dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6となります。

このような性質から{}_{}\mathrm{C}_{}が登場するのですね?

これらを一般化したのが二項定理なんでしょうね。それではまた。

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