TikZ：2020年度・東京都：平面図形

こんにちは。相城です。さて、2020年2月21日に行われました、東京都の問題より平面図形の問題をどうぞ。選択問題がありましたが、選択肢は省いております。ご了承ください。

下の図1で、四角形ABCDは正方形である。
点Pは辺BC上にある点で、頂点B、頂点Cのいずれにも一致しない。
点Qは辺CD上にある点で、CP $=$ CQである。
頂点Aと点P、点Pと点Qをそれぞれ結ぶ。
次の各問いに答えよ。
問1　図1において、 $\angle{\text{BAP}}=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle{\text{APQ}}$ の大きさを表す式を、書きなさい。
問2　下の図の図2は、図1において、辺ADをDの方向に延ばした延長線上にありAD $=$ DEとなる点をE、点Eと点Qの方向に延ばした直線と線分APとの交点をRとした場合を表している。
次の①、②に答えよ。
①　△ABP≡△EDQであることを証明せよ。
②　次の(　)の中の(あ)、(い)、(う)に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図2において、AB $=$ 4cm、BP $=$ 3cmのとき、線分EQの長さと線分QRの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、EQ : QR $=$ (あい) : (う)である。

図1

図2

答え

(1) $45+a^{\circ}$
Pを通りABに平行な線を引きADとの交点をSとすると、
AB//PS//DCなので、平行線の錯角より
$\angle{\text{SPA}}=a^{\circ}$ 、 $\angle{\text{SPQ}}=45^{\circ}$
よって、 $45+a^{\circ}$
(2)
①
△ABPと△EDQで
仮定より
AD $=$ DE $=$ BAより
BA $=$ DE・・・①
CP $=$ CQとBC $=$ CDから
BP $=$ DQ・・・②
$\angle{\text{ABP}}=\angle{\text{EDQ}}=90^{\circ}$ ・・・③
①、②、③より
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABP≡△EDQ
②
$\angle{\text{APB}}=\angle{\text{RAE}}=\angle{\text{EQD}}$
と $\angle{\text{E}}$ が共通より、
△EDQ∽△ERA
三平方の定理より、EQ $=$ 5。またED $=$ 4、EA $=$ 8なので、
5 : 6 $=$ 4 : ER
ER $=\dfrac{32}{5}$ より、
QR $=$ ER－EQ $=\dfrac{32}{5}-5=\dfrac{7}{5}$
したがって
EQ : QR $=$ 5 : $\dfrac{7}{5}=$ 25 : 7

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