こんにちは。相城です。2020年群馬県の前期問題から平行四辺形と面積に関する問題です。それではどうぞ。
下の図の平行四辺形ABCDにおいて、点E、Fはそれぞれ辺AD、CD上の点であり、AC//EFである。次の(1)~(3)の問いに答えなさい。
(1) 三角形ABCと三角形EBCの面積が等しいことを次のように証明した。
【ア】、【イ】に適する記号をそれぞれ入れなさい。
『証明』
△ABCと△EBCについて、ともに底辺をBCとして考えると、【ア】//【イ】より、高さが等しいといえる。したがって、底辺と高さがそれぞれ等しいので、△ABCと△EBCの面積は等しい。
(2) 三角形ADFと三角形CDEの面積が等しいことを証明しなさい。
(3) 平行四辺形ABCDの面積を96cm
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答え
(1) 【ア】、【イ】AD、BC 順番はどちらでもよい(順不同) ADはAEでも大丈夫。
(2)
△ADFと△CDEで
△ADF=△AEF+△DEF・・・①
△CDE=△EFC+△DEF・・・②
△AEFと△EFCでEFを共通な底辺とすると
EF//ACであるから、高さも等しい。このことから、
底辺と高さがそれぞれ等しいので
△AEF=△EFC
よって①、②より
△ADFと△CDEの面積は等しい(△ADF=△CDE)
(3)
対角線BDを引いて, △BDFと△BDEの和として考える。
ここで, △BDF=△ADF=![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac12\times\dfrac14=12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68614cda0501547c1cfb57b116e7e2d7_l3.png)
△BDE=△CDE=![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac12\times\dfrac14=12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68614cda0501547c1cfb57b116e7e2d7_l3.png)
よって四角形EBFDの面積は
(cm
)
別解
平行四辺形ABCDから△ABEと△BCFを取り除いた割合を
96cm
にかけて求める。
平行四辺形ABCDの面積を96とすると、
△ABE=![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea11d4dd1942bd7c28d5fc9db58a9a59_l3.png)
△BCF=![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea11d4dd1942bd7c28d5fc9db58a9a59_l3.png)
よって
四角形EBFD=平行四辺形ABCD-△ABE-△BCFであるから
四角形EBFD=96-36-36=24
24cm![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
別解 平行四辺形の面積の割合を1とする。
△ABEの割合が全体の![Rendered by QuickLaTeX.com 1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6870917c39763e774addd89d120e90d_l3.png)
△BCFの割合が全体のの
であるから、四角形EBFDの割合は
![Rendered by QuickLaTeX.com 1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ea4ced4136a1ae4d4445825054ed691_l3.png)
よって四角形EBFDの面積は
cm![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
*)平行四辺形の面積の割合を1とせず面積をSとしてもよい。
(2)
△ADFと△CDEで
△ADF=△AEF+△DEF・・・①
△CDE=△EFC+△DEF・・・②
△AEFと△EFCでEFを共通な底辺とすると
EF//ACであるから、高さも等しい。このことから、
底辺と高さがそれぞれ等しいので
△AEF=△EFC
よって①、②より
△ADFと△CDEの面積は等しい(△ADF=△CDE)
(3)
対角線BDを引いて, △BDFと△BDEの和として考える。
ここで, △BDF=△ADF=
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△BDE=△CDE=
![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac12\times\dfrac14=12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68614cda0501547c1cfb57b116e7e2d7_l3.png)
よって四角形EBFDの面積は
![Rendered by QuickLaTeX.com 12+12=24](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19f0ef9a2c22bd076e4b6a1991ab21a7_l3.png)
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別解
平行四辺形ABCDから△ABEと△BCFを取り除いた割合を
96cm
![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
平行四辺形ABCDの面積を96とすると、
△ABE=
![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea11d4dd1942bd7c28d5fc9db58a9a59_l3.png)
△BCF=
![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea11d4dd1942bd7c28d5fc9db58a9a59_l3.png)
よって
四角形EBFD=平行四辺形ABCD-△ABE-△BCFであるから
四角形EBFD=96-36-36=24
24cm
![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
別解 平行四辺形の面積の割合を1とする。
△ABEの割合が全体の
![Rendered by QuickLaTeX.com 1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6870917c39763e774addd89d120e90d_l3.png)
△BCFの割合が全体のの
![Rendered by QuickLaTeX.com 1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6870917c39763e774addd89d120e90d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ea4ced4136a1ae4d4445825054ed691_l3.png)
よって四角形EBFDの面積は
![Rendered by QuickLaTeX.com 96\times\dfrac{1}{4}=24](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-160b45646f789f1ee0ebcb4190f9f7af_l3.png)
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*)平行四辺形の面積の割合を1とせず面積をSとしてもよい。
遅いかもしれないんですが、点Bと点Dを結んで△BEDとBDFに分けて等積変形するのも面白いかもしれません。
その方が早いですね。
AE:EDの比の意味が分かりました。
△BDE=△CDE、△BDF=△ADFですからね。
アドバイスありがとうございます。