TikZ:2020年度・群馬県前期の問題:平行四辺形と面積

こんにちは。相城です。2020年群馬県の前期問題から平行四辺形と面積に関する問題です。それではどうぞ。

下の図の平行四辺形ABCDにおいて、点E、Fはそれぞれ辺AD、CD上の点であり、AC//EFである。次の(1)~(3)の問いに答えなさい。

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(1) 三角形ABCと三角形EBCの面積が等しいことを次のように証明した。
【ア】、【イ】に適する記号をそれぞれ入れなさい。
『証明』
△ABCと△EBCについて、ともに底辺をBCとして考えると、【ア】//【イ】より、高さが等しいといえる。したがって、底辺と高さがそれぞれ等しいので、△ABCと△EBCの面積は等しい。
(2) 三角形ADFと三角形CDEの面積が等しいことを証明しなさい。
(3) 平行四辺形ABCDの面積を96cm^2、AE : ED=3 : 1とする。四角形EBFDの面積を求めなさい。

答え
(1) 【ア】、【イ】AD、BC 順番はどちらでもよい(順不同) ADはAEでも大丈夫。
(2)
△ADFと△CDEで
△ADF=△AEF+△DEF・・・①
△CDE=△EFC+△DEF・・・②
△AEFと△EFCでEFを共通な底辺とすると
EF//ACであるから、高さも等しい。このことから、
底辺と高さがそれぞれ等しいので
△AEF=△EFC
よって①、②より
△ADFと△CDEの面積は等しい(△ADF=△CDE)
(3)
対角線BDを引いて, △BDFと△BDEの和として考える。
ここで, △BDF=△ADF=96\times\dfrac12\times\dfrac14=12
△BDE=△CDE=96\times\dfrac12\times\dfrac14=12
よって四角形EBFDの面積は12+12=24(cm^2)
別解
平行四辺形ABCDから△ABEと△BCFを取り除いた割合を
96cm^2にかけて求める。
平行四辺形ABCDの面積を96とすると、
△ABE=96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36
△BCF=96\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=36
よって
四角形EBFD=平行四辺形ABCD-△ABE-△BCFであるから
四角形EBFD=96-36-36=24
24cm^2
別解 平行四辺形の面積の割合を1とする。
△ABEの割合が全体の1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}
△BCFの割合が全体のの1\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}であるから、四角形EBFDの割合は
1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}
よって四角形EBFDの面積は96\times\dfrac{1}{4}=24cm^2
*)平行四辺形の面積の割合を1とせず面積をSとしてもよい。

2 COMMENTS

ただの数学好き

遅いかもしれないんですが、点Bと点Dを結んで△BEDとBDFに分けて等積変形するのも面白いかもしれません。

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mathtext

その方が早いですね。
AE:EDの比の意味が分かりました。
△BDE=△CDE、△BDF=△ADFですからね。
アドバイスありがとうございます。

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