中学数学：攻略・過不足の問題

こんにちは。相城です。今回は過不足の問題を見ていきまでょう。過不足には大きく分けて2通り, 枚数の過不足と集金の過不足があります。その違いを見ていきましょう。

枚数の過不足

【例】何枚かある画用紙を生徒1人3枚ずつ配ると10枚余り, 1人4枚ずつ配ると5枚不足するという。生徒の人数を求めなさい。

生徒の人数を $x$ 人とすると, 上のように3枚ずつ配ると, まだ手元に10枚残っているので, 画用紙の枚数は全部で
$3x+10$ (枚) $\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
同じように, 4枚ずつ配った場合を考えると, 1人に4枚ずつ配っていくと5枚は不足するので, 全員に配ったとする枚数 $4x$ 枚から,
不足分の5枚を引いたものが, いまある全部の画用紙の枚数となります。ですから, いまある画用紙の枚数は
$4x-5$ (枚) $\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ , $\textcircled{\scriptsize 2}$ が両方ともいまある画用紙の総数なので, 方程式は
$3x+10=4x-5$
となります。

集金の過不足

次に集金に関する過不足との違いを見ていきましょう。
【例】子供会の会費を集めるのに, 保護者の方から1人400円ずつ集めると300円不足し, 1人500円ずつ集めると600円あまる。このとき, 保護者の人数は何人か求めなさい。

集金の場合, 集める金額に対して, 多い場合は余分に余っている状態になります。ですから, 集める金額とちょうどにするためには, 余った金額を引くことになります。また, 集める金額に対して, 不足している場合は, 集めなくてはいけない金額に対して, 不足している分は足さなくてはいけません。

保護者の人数を $x$ 人とすると,
1人400円ずつ集めると, 集めた金額400 $x$ 円では, 集める金額に対して300円足りていない(不足)ので, 300円足すことで, 集める金額になります。同じように1人500円ずつ集めると, 集めた金額500 $x$ 円は, 集める金額に対して600円を超える(あまる)ことになるので, 集める金額にするには, 600円引くことになります。

このように考えて, 方程式は

$400x+300=500x-600$

となります。

まとめ

このように同じあまるでも, あまっているので加えて考える場合と, あまっているものは余分なものなので, 取り除いて考える。同じように, 不足の場合は, いまあるものより多いので, 不足分は引いて考えるときと, 集める金額に対して不足しているので, 集める金額にするために不足分を加えて考える。
このように, 過不足の問題では大きく分けて2パターンあります。
ではでは。

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