中学数学:公式・円錐の組み合わせ

こんにちは。相城です。今回は円錐を組み合わせた図形の公式を見ていきましょう。

公式

右の図1, 図2で\ellを軸として△ABCを一回転させてできる立体の体積Vは図1,図2とも,

    \[V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\]


で与えられる。

公式の証明

証明
図1で,

    \begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\pi r^2\times \text{AO}+\dfrac{1}{3}\pi r^2 \times \text{OC}\\ &=\dfrac{1}{3}\pi r^2\times (\text{AO}+\text{OC})\\ &=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h \end{align*}


図2で,

    \begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\pi r^2\times \text{AO}-\dfrac{1}{3}\pi r^2\times \text{OC}\\ &=\dfrac{1}{3}\pi r^2\times (\text{AO}-\text{OC})\\ &=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\end{align*}

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