高校数学：たすき掛けの因数分解

高校数学の代名詞？の1つ, たすき掛けの因数分解を書いておきます。
次の展開公式の逆ですね。以下の乗法公式
$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
の逆, つまり,
$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
の因数分解のことです。この因数分解は以下のからくりを用いて完成させます。 $x^2$ の係数を構成する2数 $a, c$ を縦に書き, 定数項を構成する2数 $b, d$ を縦に書き, たすきのようにバッテン(×)に掛け算して和を求めると $x$ の係数になるように $a, b, c, d$ を配置する。これができると, $a, b$ と $c, d$ というように横に見て $(ax+b)(cx+d)$ と因数分解できるわけです。

実際の問題をやりながら体得していきましょう。

例題

【例題】 $3x^2+16x+5$ を因数分解しなさい。
公式①より, 問題中の式の $x^2$ の係数3と定数項の5は単純に2数の積で決まります。積が3になる2数は, 1と3か $-1$ と $-3$ ですが, 先頭の符号は基本的に $+$ の符号で, 後ろの数(この場合5)で符号の調整は行います。よって, 上の $a$ , $c$ に当たるものが, 1と3になります。次に定数項は5なので, 積が5になる組合せは, 先と同様, 1と5か $-1$ と $-5$ ですが, $x$ の係数が正の数なので, 両方負の数ということはあり得ない( $x$ の係数が負になるから)ことになります。したがって, 積が5になる組は1と5になります。これを前途した, たすき掛けに配置し, たすき掛けした結果和をとると, $x$ の係数16になればいい。つまり, この配置の仕方は以下になります。

よって, 例題の答えは $(x+5)(3x+1)$ となります。
もう少し例題をしてみましょう。
【例題】 $6x^2+5xy-14y^2$ を因数分解しなさい。
以下, 与式を $x$ についての2次式とみて, $-14y^2$ は定数項として話を進めます。
まず, $a, c$ は正の数なので, 6になる組は(2, 3)か(1, 6)になります。次に $-14$ (以下話が見えやすいよう $y$ を略してます。)になる組を考えるのですが, このとき, $-14$ ではなく, $-14$ の絶対値の14になる組を考えて, 足したり引いたりして, $x$ の係数5になる組を探るのです。ですから積が14になる組は(2, 7)か(1, 14)になり, $a, c$ が(2, 3)で, $b, d$ が(2, 7), (1, 14)で掛け算の組み合わせを試行すると, $(2\times2, 3\times7)$ , $(2\times7, 3\times2)$ , $(2\times1, 3\times14)$ , $(2\times14, 3\times1)$ でどの結果も差が5になる組はありません。したがって, $a, c$ が2と3ではないことになります。 $a, c$ を(1, 6)として, 積が14になる組(2, 7), (1, 14)で試行すると, (1, 6), (1, 14)の積の組み合わせでは5がつくれないことは分かってくるでしょう。また(1, 6), (2, 7)の積の組でも6と7をかける組み合わせは考えなくてもいいでしょう。そうやって消去していくと残る積の組合せは, $(1\times7, 6\times2)$ となり, $6\times 2-1\times7=5$ で $x$ の係数5ができました。このときはじめて, 7にマイナスをつければいいことが分かるので, $(a, c)=(1, 6), (b, d)=(2, -7)$ となります。このように, たすき掛けの因数分解を行うときは絶対値のまま考えて, 最後に符号で調整していくと,うまくいくことが多いです。以下の画像でその様子を触れておきます。