高校数学：空間ベクトルs+t+u=1のなぜ

こんにちは。相城です。今回は空間ベクトルの必須アイテムである公式についてです。以下のようなものです。
四面体 $\mathrm{OABC}$ において, $\mathrm{P}$ が△ $\mathrm{ABC}$ (平面 $\mathrm{ABC}$ )上にあるとき, $\overightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+u\overrightarrow{\text{OC}}$ で, $s+t+u=1$ となることを証明したいと思います。

s+t+u=1のなぜ

$\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{c}$ とおくと,
$\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{CP}}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
Pは△ $\mathrm{ABC}$ (平面 $\mathrm{ABC}$ )上にあるので,
$\overrightarrow{\text{CP}}=s\overrightarrow{\text{CA}}+t\overrightarrow{\text{CB}}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ と置け,
$\overrightarrow{\text{CA}}=\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OC}}$ ,
$\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OC}}$ であるから, $\textcircled{\scriptsize 2}$ は次のようになる。
$\overrightarrow{\text{CP}}=s\left(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)+t\left(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)$
これを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入すると,
$\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OC}}+s\left(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)+t\left(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OC}}\right)$
展開して, 整理すると,
$\overrightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+(1-s-t)\overrightarrow{\text{OC}}$
$1-s-t=u$ と置くと,
$\overrightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+u\overrightarrow{\text{OC}}$
となり, このとき, $s+t+u=s+t+(1-s-t)=1$ である。
ちなみに点 $\mathrm{P}$ が△ $\mathrm{ABC}$ の内部(周上を含む)にあるときは, $s\geqq0, t\geqq0, u\geqq0, s+t+u=1$ である。
また, $s+t+u=1$ ならば点 $\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあり, 点 $\mathrm{P}$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるならば, $s+t+u=1$ という, 必要十分条件の関係にあることも押さえておきましょう。

s+t+u=1のなぜ

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