emath：高校数学：円の接線の公式と基本的な証明

こんにちは。今回は円の接線の公式について触れておきます。基本的な証明かどうかは分かりませんが, 証明を載せておきます。

円の接線の公式

円の接線の公式(接点が与えられている)

(A)円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式
$x_0x+y_0y=r^2$
(B)円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

(A)の証明

円の式を $x^2+y^2=r^2$ とし, 接点をP $(x_0, y_0)$ とすると, 直線OPの傾きは $\dfrac{y_0}{x_0}$ であるから,
接線の方程式 $\ell$ の傾き $m$ は, $m\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-1$ なので, $m=-\dfrac{x_0}{y_0}$ ,
傾き $-\dfrac{x_0}{y_0}$ で点 $(x_0, y_0)$ を通るので, $\ell$ の式は
$y=-\dfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)+y_0$
両辺 $y_0$ かけて整理すると,
$x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
となりますが, P $(x_0,y_0)$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点なので, $x_0^2+y_0^2=r^2$ が成り立ちます。
したがって, $\textcircled{\scriptsize 1}$ は
$x_0x+y_0y=r^2$
となり, 公式を得ます。

使い方の例
【例題】円 $x^2+y^2=25$ 上の点(4, 3)における接線の方程式を求めよ。
【解答】 $4x+3y=25\cdots$ (答)

続いて(B)の証明
中心が $(a, b)$ 半径が $r$ の円, 接点がP $_1(x_1, y_1)$ の場合,

証明するのに, 先ほど証明した接線の方程式 $x_0x+y_0y=r^2$ を平行移動して考えます。
つまり,
中心O $(0, 0)\longrightarrow$ O $_1(a, b)$ ,
接点P $(x_0, y_0)\longrightarrow$ P $_1(x_1, y_1)$
に移動します。
このとき円の中心が原点で半径が $r$ , 接点P $(x_0, y_0)$ における接線の方程式 $x_0x+y_0y=r^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ も $x$ 軸方向に $a$ , $y$ 軸方向に $b$ 平行移動しているので, $\textcircled{\scriptsize 2}$ をそのように平行移動させると,
$x_0(x-a)+y_0(y-b)=r^2\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
このとき, 各点も $x$ 軸方向に $a$ , $y$ 軸方向に $b$ 平行移動しているので, $x_0, y_0$ と $x_1, y_1$ の間には次のような関係式が成り立ちます。
$x_1=x_0+a$
$y_1=y_0+b$
これから,
$x_0=x_1-a$
$y_0=y_1-b$
これらを $\textcircled{\scriptsize 3}$ に代入し,
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
を得る。