emath：高校数学：円の接線の公式(ベクトルを用いた証明)

こんにちは。今回は円の接線をベクトルを用いて証明しておこうと思います。

円の接線の公式

円の接線の公式(接点が与えられている)

(A)　円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式
$x_0x+y_0y=r^2$
(B)　円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

(A)の証明

円の方程式を $x^2+y^2=r^2$ とし, 接点をP $(x_0, y_0)$ , 円の中心(原点)をOとし, 接線 $\ell$ 上の点をX $(x, y)$ とする。
このとき,
$\overrightarrow{\text{OP}}=(x_0, y_0)$
$\overrightarrow{\text{PX}}=(x-x_0, y-y_0)$
で, $\overrightarrow{\text{OP}}\perp\overrightarrow{\text{PX}}$ なので, 内積が0になる。
これを利用すると,
$\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{PX}}=\left( \begin{array}{cc} x_0\\ y_0\\ \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{cc} x-x_0\\ y-y_0\\ \end{array} \right)=0$
$x_0x-x_0^2+y_0y-y_0^2=0$
$x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2$
また, $\left|\overrightarrow{\text{OP}}\right|^2=x_0^2+y_0^2=r^2$ である。
よって,
$x_0x+y_0y=r^2$

(B)の証明

円の方程式を $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ とし, 接点P $(x_1, y_1)$ , 円の中心をQとし, 接線 $\ell$ 上の点をX $(x, y)$ とする。
このとき,
$\overrightarrow{\text{QP}}=(x_1-a, y_1-b)$
$\overrightarrow{\text{PX}}=(x-x_1, y-y_1)$
で, $\overrightarrow{\text{QP}}\perp\overrightarrow{\text{PX}}$ なので, 内積が0になる。
これを利用すると,
$\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{PX}}=\left( \begin{array}{cc} x_1-a\\ y_1-b\\ \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{cc} x-x_1\\ y-y_1\\ \end{array} \right)=0$
$(x_1-a)(x-x_1)+(y_1-b)(y-y_1)=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
また, P $(x_1, y_1)$ は円上の点なので,
$(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}+\textcircled{\scriptsize 2}$ から,
$(x_1-a)(x-x_1)+(x_1-a)^2+(y_1-b)(y-y_1)+(y_1-b)^2=r^2$
$(x_1-a)(x-x_1+x_1-a)+(y_1-a)(y-y_1+y_1-b)=r^2$
よって,
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

円の接線の公式

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