高校数学：等比数列の和の公式と導出

2021年4月27日2021年8月7日

こんにちは。今回は等比数列ar^{n-1}の和の公式の導出です。

等比数列の和の公式

初項 $a$ , 公比 $r$ の等比数列の和の公式は以下になります。

等比数列の和の公式

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 　　(主に公比 $r$ が1より小さいときに使用)
もしくは,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 　　(主に公比 $r$ が1より大きいときに使用)

公式の導出
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-2}+ar^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
として,
$S_n$ の両辺に公比 $r$ をかけると,
$rS_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^k=ar+ar^2+ar^3+\cdots+&ar^{n-1}+ar^n\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}-\textcircled{\scriptsize 2}$ より,
$\begin{array}{cccccccccccccc} & S_n&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-1}}& &\\-)&rS_n&=& & &\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\\hline&S_n-rS_n&=&a& & & & & & &&&-&ar^n\end{array}$
したがって,
$(1-r)S_n=a(1-r^n)$
両辺を $1-r$ で割って,
$S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
もう1つの公式は右辺の分母分子に $-1$ をかけて
$S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$
となる。

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