高校数学：指数法則

2021年4月30日

こんにちは。今回は指数について書いておきます。

0乗や－n乗とは

指数の決まり

$a\neq0$ で, $n$ を正の整数とするとき, 次のように定義します。
$\begin{array}{clclcl} \textcircled{\scriptsize 1}&a^0=1&\textcircled{\scriptsize 2}&a^{-1}=\dfrac{1}{a}&\textcircled{\scriptsize 3}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \end{array}$
マイナス乗は逆数という意味

【例】 $(-3)^0=1$
$5^{-2}=\dfrac{1}{25}$
$a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}$

指数法則

指数部が整数の場合, 次の法則が成り立つ。
$a\neq0, b\neq0, m, n$ を整数とすると,
$\begin{array}{clcl} \textcircled{\scriptsize 1}&a^m\times a^n=a^{m+n}&\textcircled{\scriptsize 2}&a^m\div a^n=a^{m-n}\\ \textcircled{\scriptsize 3}&(a^m)^n=a^{mn}&\textcircled{\scriptsize 4}&(ab)^n=a^{n}b^{n}\\ \textcircled{\scriptsize 5}&\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}&& \end{array}$
が成り立つ。
$m, n$ は有理数でも成り立ちます。それに関しては別記事で掲載します。

【例】 $a^3\times a^4=a^{3+4}=a^7$
$a^4\div a^8=a^{4-8}=a^{-4}=\dfrac{1}{a^4}$
$(a^3)^4=a^{3\cdot4}=a^{12}$
$(a^2b^3)^2=a^{2\cdot2}b^{3\cdot2}=a^4b^6$
$(a^2)^{-3}=a^{2\cdot(-3)}=a^{-6}=\dfrac{1}{a^6}$
$\left(\dfrac{a}{b^2}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^{2\cdot2}}=\dfrac{a^2}{b^4}$

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