高校数学：指数関数と方程式

こんにちは。今回は指数関数を含む方程式について書いておきます。例題を見ながら書いていきます。

底をそろえて解く

【例①】 $2^x=8$
【解法】底をそろえる。
底を2でそろえると, $2^x=2^3$
指数部を比較して, $x=3\cdots$ (答)
【例②】 $2^x=\dfrac{1}{16}$
【解法】底を2または, $\dfrac12$ でそろえる。
底を2でそろえると, $2^x=2^{-4}$ ,
よって, $x=-4$
底を $\dfrac12$ でそろえると, $\left(\dfrac12\right)^{-x}=\left(\dfrac12\right)^4$
よって, $-x=4$ より,
$x=-4$

指数関数を含む方程式

底をそろえて指数部を比較して解く。
このとき, 次の性質を用いる。
$a>0, a\neq1$ のとき, $a^x=a^p$ なら, $x=p$

底をそろえると二次方程式になる場合

続いての例題
【例③】方程式 $9^x-6\times3^x-27=0$ を解きなさい。
【解法】これも底をそろえて解いていきます。
$9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$ なので, 底を3として式を書くと,
$\left(3^x\right)^2-6\times3^x-27=0$
$3^x=t$ 　 $t>0$ とおくと,
$t^2-6t-27=0$
$(t-9)(t+3)=0$
$t>0$ より,
$t=9$
$t=3^x$ なので,
$3^x=9$
$3^x=3^2$
$x=2\cdots$ (答)

指数関数を含む方程式

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　底をそろえて $a^x=t$ として, $t$ の方程式をつくる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　このとき, $a^x>0$ なので, $t>0$ に気を付けて方程式を解く。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $t=p$ なら, $a^x=p$ なので, これより, $x$ の値を求める。

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