高校数学：log₂5が無理数である証明

2021年5月2日2022年5月2日

こんにちは。今回は $\log_2{5}$ が無理数であることの証明を書いておきます。背理法を用いる証明ですので, 興味の湧く方はトライしてみてください。

背理法で矛盾を示す

【問】 $\log_2{5}$ が無理数であることを証明せよ。
【解法】 $\log_2{5}=\dfrac{n}{m}$ 　( $m, n$ は互いに素)と表せるとします。
このとき, $2^{\frac{n}{m}}=5$ となるので, 両辺 $m$ 乗すると,
$2^n=5^m$
となるが, これは左辺が偶数で, 右辺が奇数になることを意味するので,
等号が成立せず矛盾する。
したがって, はじめに $\log_2{5}=\dfrac{n}{m}$ としたことが誤りである。
よって, $\log_2{5}$ は無理数である。

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