高校数学：対数：対数の大小関係

こんにちは。今回は対数の大小関係について書いておきます。例題を見ながら行きましょう。

対数の大小関係

【例①】 $\log_38, \log_3 5, 2$ の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】底をそろえて真数部の大小を考える。
この場合, 底を3にそろえて,
$2=\log_3 3^2=\log_39$
底が1より大きいので,
$\log_3 5<\log_3 8<\log_3 9$
したがって, $\log_3 5<\log_3 8<2$
【例②】 $2\log_{\frac13}4$ , $-2$ , $\log_{\frac13}5$
【解法】底をそろえて真数部の大小を考える。底が1より小さいことに気を付ける。
$2\log_{\frac13}4=\log_{\frac13}4^2=\log_{\frac13}16$
$-2=\log_{\frac13}\left(\dfrac13\right)^{-2}=\log_{\frac13}9$
底が1より小さいので,
$\log_{\frac13}16<\log_{\frac13}9<\log_{\frac13}5$
したがって,
$2\log_{\frac13}4<-2<\log_{\frac13}5$

対数の大小関係

底 $a$ をそろえて考える。
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $a>1$ のとき, $y=\log_a x$ は単調増加のグラフなので,
$x$ の値が大きければ $y$ の値も大きい。
したがって, $0<p<q\longleftrightarrow\log_a p<\log_a q$
$\textcircled{\scriptsize2}$ 　 $0<a<1$ のとき, $y=\log_a x$ は単調減少のグラフなので,
$x$ の値が大きければ $y$ の値は小さい。
したがって, $0<p<q\longleftrightarrow\log_a p>\log_a q$

底がそろっている場合

【例③】 $\log_{\frac12}4$ , $\log_2{4}$ , $\log_3{4}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】底を真数にして底変換を行う。
$\log_{\frac12}4=\dfrac{\log_4{4}}{\log_4{\dfrac12}}=\dfrac{1}{\log_4{\dfrac12}}$
$\log_2{4}=\dfrac{\log_4{4}}{\log_4{2}}=\dfrac{1}{\log_4{2}}$
$\log_3{4}=\dfrac{\log_4{4}}{\log_4{3}}=\dfrac{1}{\log_4{3}}$
ここで, $\log_4{\dfrac12}<\log_4{1}=0$ であるから,
$\log_4{\dfrac12}<0$
また, 底が1より大きいので
$0\left(\log_4{1}\right)<\log_4{2}<\log_4{3}$ なので, $\dfrac{1}{\log_4{3}}<\dfrac{1}{\log_4{2}}$
以上より,
$\log_{\frac12}4<\log_3{4}<\log_2{4}$

真数がそろってる

底を真数の値にして底変換して, 大小関係を調べるのがコツ。

分数と比べる

【例④】 $\log_{10}2$ と $\dfrac{3}{10}$ の大小関係を不等号を用いて表せ。
【解法】まず, $\dfrac{3}{10}$ を底を10とした対数で表す。
$\dfrac{3}{10}=\log_{10}10^{\frac{3}{10}}$
$\log_{10}2, \log_{10}10^{\frac{3}{10}}$ となり, 底が1より大きいので, 真数部分の大小を考えればよい。
つまり, $2$ と $10^{\frac{3}{10}}$ の大小を考えるとよい。
ここで, この2数を考えやすくするために, それぞれ10乗すると,
$2^{10}=1024$ , $10^3=1000$ となり, $2^{10}>10^3$ となる。
つまり, $2>10^{\frac{3}{10}}$ である。
ゆえに, $\log_{10}{2}>\dfrac{3}{10}$