高校数学：対数を含む不等式

こんにちは。今回は対数を含む不等式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

対数を含む不等式

【例①】不等式 $\log_4 x<3$ を解け。
【解法】真数条件より $x>0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
3を $\log_4$ を用いて表すと $\log_4 4^3=\log_4 64$ なので, 与式は,
$\log_4 x<\log_4 64$ となる。
底は1より大きいので, これを解くと $x<64$
これと, $\textcircled{\scriptsize 1}$ から
$0<x<64\cdots$ (答)

【例②】不等式 $\log_2 x+\log_2 (x-7)<3$ を解け。
【解法】真数条件より, $x>0, x-7>0$ より, $x>7\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
3を $\log_2$ を用いて表すと, $\log_2 2^3=\log_2 8$ で,
対数の性質を用いて, 与式を書き換えると,
$\log_2 x(x-7)<\log_2 8$
底が1より大きいことから, 対数を取り除いて,
$x(x-7)<8$
$x^2-7x-8<0$
$(x-8)(x+1)<0$
$-1<x<8$
これと $\textcircled{\scriptsize 1}$ から,
$7<x<8\cdots$ (答)

【例③】不等式 $2\log_{\frac12}(x-2)>\log_{\frac12}(x+4)$ を解け。
【解法】与式を書き換えると,
$\log_{\frac12}(x-2)^2>\log_{\frac12}(x+4)$
真数条件より, $x-2>0, x+4>0$ より, $x>2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
底が1より小さいので, 真数部分の大小関係に気を付けると,
$(x-2)^2<(x+4)$
$x^2-4x+4<x+4$
$x^2-5x<0$
$x(x-5)<0$
$0<x<5$
これと $\textcircled{\scriptsize 1}$ から,
$2<x<5\cdots$ (答)

対数を含む不等式について

$\bullet$ 対数が1つなら, $\log_a p>\log_a q$ を使ってみよう。
このとき, 底 $a$ が1より大きいか, 小さいかで不等号の向きが変わる。
$a>1$ のとき, $\log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<p<q$
$0<a<1$ のとき, $\log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<q<p$
$\bullet$ 対数が2つ以上あるときは,
$\maru1$ 　真数条件(真数 $>0$ )より, 解の範囲を決める。
$\maru2$ 　対数の性質, $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$ を使って, 右辺と左辺の対数をまとめる。
$\maru3$ 　対数を取り除いた真数部分での方程式を解く。
$\maru4$ 　 $\maru2$ の真数条件にあう答えの吟味をする。
このとき, 底 $a$ が1より大きいか, 小さいかで不等号の向きが変わる。
$a>1$ のとき, $\log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<p<q$
$0<a<1$ のとき, $\log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<q<p$

【例④】不等式 $\left(\log_2 x\right)^2-\log_2 x^3-4\leqq0$ を解け。
【解法】真数条件より, $x>0, x^3>0$ より, $x>0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
与式を書き換えると,
$\left(\log_2 x\right)^2-3\log_2 x-4\leqq0$
$\log_2 x=t$ と置くと,
$t^2-3t-4\leqq0$
$(t-4)(t+1)\leqq0$
$-1\leqq t\leqq4$
すなわち,
$-1\leqq\log_2 x\leqq4$
$\log_2 2^{-1}\leqq\log_2 x\leqq\log_2 2^4$
底は1より大きいので,
$\dfrac12\leqq x\leqq16$
これと $\textcircled{\scriptsize 1}$ から,
$\dfrac12\leqq x\leqq16\cdots$ (答)

対数を含む二次不等式について

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_a x=t$ と置いて $t$ の2次不等式をつくる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\log_a x=t\Longleftrightarrow x=a^t$ を用いて, 解を求める。
このとき, 底 $a$ が1より大きいか, 小さいかで不等号の向きが変わる。
$a>1$ のとき, $\log_a x<\log_a p\Longleftrightarrow x<p$
$0<a<1$ のとき, $\log_a x<\log_a p\Longleftrightarrow x>p$
これと合わせて, 真数条件の $x>0$ の考慮を忘れないこと。

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対数を含む不等式

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