TikZ：高校数学：対数関数を含む関数の最大値・最小値

2021年5月2日2022年5月2日

こんにちは。今回は対数関数を含む関数の最大値・最小値について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

log_a(x)=tとおいてtの関数で考える

【例】関数 $y=\left(\log_2 x\right)^2-4\log_2 x+1$ 　 $2\leqq x\leqq 16$ の最大値と最小値を求め, そのときの $x$ の値も答えよ。
【解法】 $\log_2 x=t$ と置くと,
$\log_2 2\leqq \log_2 x\leqq \log_2 16\longrightarrow 1\leqq t\leqq 4$ である。
また, 関数は
$y=t^2-4t+1$ となるので, 平方完成すると,
$y=(t-2)^2-3$ 　 $1\leqq t\leqq 4$
グラフを描いて, 最大値, 最小値を求めると,

最小値は $t=2$ のとき, $-3$ , 最大値は $t=4$ のとき, $1$
$t=2$ より, $\log_2 x=2\longrightarrow x=4$
$t=4$ より, $\log_2 x=4\longrightarrow x=16$
よって,
最小値は $x=4$ のとき, $-3$
最大値は $x=16$ のとき, 1

対数を含む二次不等式について

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_a x=t$ と置いて $t$ の関数をつくる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $x$ の定義域から, $t$ の定義域を求める。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　グラフを描いて最大値, 最小値を求める。
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　必要なら, 最大値, 最小値を与える $t$ の値から, $x$ の値を求める。

log_a(x)=tとおいてtの関数で考える

コメントを残す コメントをキャンセル

コメントを残すコメントをキャンセル