高校数学：対数とその性質

こんにちは。今回は対数の性質とその証明について書いておきます。

対数の性質

$a>0, b>0, c>0, M>0, N>0, a\neq1, c\neq1$ とすると,
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_a{a}=1$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\log_a{1}=0$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\log_a M^p=p\log_a M$ 　【 $p$ 乗⇔ $p$ 倍】
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ 　【積⇔和】
$\textcircled{\scriptsize 5}$ 　 $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$ 　【商⇔差】
$\textcircled{\scriptsize 6}$ 　 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ 　【底の変換公式】
特に $c=b$ なら, $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$
が成り立つ。

まず, 対数の定義のおさらい。
$a>0, a\neq1, M>0$ において, $a^x=M\Longleftrightarrow x=\log_a M$
を定義する
対数の性質の証明
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_a{a}=1$
対数の定義 $x=\log_a M$ において, $x=1$ とすると,
$1=\log_a M$
つまり, $M=a^1=a$ となるので,
$\log_a a=1$ となる。

$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\log_a{1}=0$
対数の定義 $x=\log_a M$ において, $x=0$ とすると,
$0=\log_a M$
つまり, $M=a^0=1$ となるので,
$\log_a 1=0$ となる。

$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\log_a M^p=p\log_a M$ 　【 $p$ 乗⇔ $p$ 倍】
対数の定義 $x=\log_a M$ から,
$M=a^x$ として, 両辺 $p$ 乗すると,
$M^p=a^{px}$
ここで, 底を $a$ とする対数をとると,
$\log_a M^p=\log_a a^{px}$
$\log_a M^p=px$
先の定義より $x=\log_a M$ なので,
$\log_a M^p=p\log_a M$

$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ 　【積⇔和】
$\log_a M=x$ , $\log_a N=y$ とすると,
$M=a^x$ , $N=a^y$ となる。
このとき,
$\begin{array}{lll}\log_a MN&=&\log_a a^x\cdot a^y\\&=&\log_a a^{x+y}\\&=&x+y\\&=&\log_a M+\log_a N\end{array}$

$\textcircled{\scriptsize 5}$ 　 $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$ 　【商⇔差】
$\log_a M=x$ , $\log_a N=y$ とすると,
$M=a^x$ , $N=a^y$ となる。
このとき,
$\begin{array}{lll}\log_a \dfrac{M}{N}&=&\log_a \dfrac{a^x}{a^y}\\&=&\log_a a^{x-y}\\&=&x-y\\&=&\log_a M-\log_a N\end{array}$

$\textcircled{\scriptsize 6}$ 　 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ 　【底の変換公式】
対数の定義より, $a^x=b\Longleftrightarrow x=\log_a b$ であるから,
$a^x=b$ の両辺に底を $c$ とする対数をとると,
$\log_c a^x=\log_c b$
$x\log_c a=\log_c b$
$x=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
定義より, $x=\log_a b$ なので, これで置き換えると,
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
また, このとき, $c=b$ とすると,
$\begin{array}{lll}\log_a b&=&\dfrac{\log_b b}{\log_b a}\\&=&\dfrac{1}{\log_b a}\end{array}$
が成り立つ。

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