高校数学：対数を含む方程式

こんにちは。今回は対数を含む方程式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

対数を含む方程式

【例①】方程式 $\log_4 x=3$ を解け。
【解法】 $x=\log_a M\Longleftrightarrow a^x=M$ なので,
$x=4^3$
$x=64\cdots$ (答)　これは, $x>0$ を満たす。
感覚的に解が $4^3$ と分かるように練習を積みましょう。

【例②】方程式 $\log_2 (x-1)+\log_2 (x-3)=3$ を解け。
【解法】真数条件より, $x-1>0, x-3>0$ から, $x>3\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
右辺の3を書き換えると $\log_2 3^3=\log_2 8$ となり,
対数の性質から与式は次のようになる。
$\log_2 (x-1)(x-3)=\log_2 8$
ここで, 両辺の対数を除くと,
$(x-1)(x-3)=8$
$x^2-4x-5=0$
$(x-5)(x+1)=0$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ より,
$x=5\cdots$ (答)
真数条件に気を付けて解きましょう。
両辺の底をそろえた対数をとることで, 真数部のみを考えた一般的な方程式に帰着させましょう。

対数を含む方程式について

$\bullet$ 対数が1つなら, $x=\log_a M\Longleftrightarrow a^x=M$ を用いる。
もしくは, $\log_ap=\log_aq\Longleftrightarrow p=q$ を用いる。
$\bullet$ 対数が2つ以上あるときは,
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　真数条件(真数 $>0$ )より, 解の範囲を決める。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　対数の性質, $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$ を使って, 右辺と左辺の対数をまとめる。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　対数を取り除いた真数部分での方程式を解く。 $\log_ap=\log_aq\Leftrightarrow p=q$
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $\textcircled{\scriptsize 2}$ の真数条件にあう答えの吟味をする。　

【例③】不等式 $\left(\log_3 x\right)^2-\log_3 x^3-4=0$ を解け。
【解法】真数条件より, $x>0, x^3>0$ より, $x>0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
与式を書き換えると,
$\left(\log_3 x\right)^2-3\log_3 x-4=0$
$\log_3 x=t$ と置くと,
$t^2-3t-4=0$
$(t-4)(t+1)=0$
$t=4, -1$
すなわち,
$\log_3x=4$ より, $x=3^4=81$
$\log_3x=-1$ より, $x=3^{-1}=\dfrac13$
これは, $\textcircled{\scriptsize 1}$ を満たす。
よって,
$x=81,\dfrac13\cdots$ (答)