TikZ:高校数学:弧度法について

こんにちは。今回は弧度法について書いてきます。

弧度法とは

半径rの扇形の弧の長さ\ellは扇形の中心角\thetaの大きさに比例する。これは扇形の半径rと弧の長さ\ellがわかれば, その中心角\thetaは分かるということを意味します。そこで, この\theta
\theta=\dfrac{\ell}{r} (rad) (単位はラジアンと呼ぶ)
として定義します。この角度の表し方を弧度法と言います。ただ, 単位は省くことが多いです。
今まで扱ってきた, 45^{\circ}, 180^{\circ}などは度数法と言います。

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具体例を見てみる

それでは実際に数字で追っかけてみましょう。
半径2, 中心角60^{\circ}なら\theta(rad)はいくらになるのでしょうか。
このとき, 弧の長さ\ellは,
\begin{array}{lll}\ell&=&2\pi\cdot2\times\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\\&=&\dfrac{2}{3}\pi\end{array}
弧度法の定義より, このときの角\theta(rad)は,
\begin{array}{lll}\theta&=&\dfrac{\ell}{r}\\&=&\dfrac{\dfrac23\pi}{2}\\&=&\dfrac{\pi}{3}\end{array}
となり, \theta=\dfrac{\pi}{3}(rad)となり,
これは度数法では60^{\circ}なので,
60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}(rad)
が成り立ちます。

半径1にすれはℓが弧度θになる

先ほど, 半径2でやりましたが, 半径1にすれば, \theta=\dfrac{\ell}{1}=\ellとなるので, 弧の長さ\ellが直接\theta(rad)になります。つまり,
\theta=2\pi\cdot1\times\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{\pi}{3}(rad)
となります。
ここで, 半径1の円の円周を考えると, 円1周が何radか知れるので計算すると,
\theta=2\pi(rad)
これは, 度数法でいうと, 360^{\circ}にあたるので,
360^{\circ}=2\pi(rad)
という関係ができ, 両辺を360^{\circ}で割ると,
1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180^{\circ}}(rad)=0.0174\cdots
逆に両辺を2\piで割ると,
1(rad)=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ}=57.295\cdots
となります。
また, 180^{\circ}=\pi(rad), 360^{\circ}=2\pi(rad)
となります。
実際扱うときは,
1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180^{\circ}}(rad)を用いて解いていきます。

弧度法
\textcircled{\scriptsize 1} \theta=\dfrac{\ell}{r}(rad):これは度数法を用いて半径1の扇形の弧の長さを考えればよい
\textcircled{\scriptsize 2} 180^{\circ}=\pi(rad), 360^{\circ}=2\pi(rad)
\textcircled{\scriptsize 3} a^{\circ}=a^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180^{\circ}}(rad)

度数法を弧度法に

【例①】45^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}を弧度法に書き直しなさい。
【解法】それぞれ\dfrac{\pi}{180^{\circ}}をかけると求まる。
45^{\circ}は, \dfrac{45^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{\pi}{4}
80^{\circ}は, \dfrac{80^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{4}{9}\pi
120^{\circ}は, \dfrac{120^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{2}{3}\pi
感覚的には180^{\circ}で割るイメージ。

弧度法を度数法に

【例②】\dfrac{1}{6}\pi, \dfrac{2}{5}\pi, \dfrac74\piを弧度法に書き直しなさい
【解法】それぞれ, \piを180^{\circ}に置き換えてかけると求まります。
\dfrac{1}{6}\piは, \dfrac{1}{6}\times180^{\circ}=30^{\circ}
\dfrac{2}{5}\piは, \dfrac{2}{5}\times180^{\circ}=72^{\circ}
\dfrac74\piは, \dfrac74\times180^{\circ}=315^{\circ}
感覚的には180^{\circ}をかけるイメージ。

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