TikZ：高校数学：弧度法について

こんにちは。今回は弧度法について書いてきます。

弧度法とは

半径 $r$ の扇形の弧の長さ $\ell$ は扇形の中心角 $\theta$ の大きさに比例する。これは扇形の半径 $r$ と弧の長さ $\ell$ がわかれば, その中心角 $\theta$ は分かるということを意味します。そこで, この $\theta$ を
$\theta=\dfrac{\ell}{r}$ 　(rad) (単位はラジアンと呼ぶ)
として定義します。この角度の表し方を弧度法と言います。ただ, 単位は省くことが多いです。
今まで扱ってきた, 45 $^{\circ}$ , 180 $^{\circ}$ などは度数法と言います。

具体例を見てみる

それでは実際に数字で追っかけてみましょう。
半径2, 中心角60 $^{\circ}$ なら $\theta$ (rad)はいくらになるのでしょうか。
このとき, 弧の長さ $\ell$ は,
$\begin{array}{lll}\ell&=&2\pi\cdot2\times\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\\&=&\dfrac{2}{3}\pi\end{array}$
弧度法の定義より, このときの角 $\theta$ (rad)は,
$\begin{array}{lll}\theta&=&\dfrac{\ell}{r}\\&=&\dfrac{\dfrac23\pi}{2}\\&=&\dfrac{\pi}{3}\end{array}$
となり, $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ (rad)となり,
これは度数法では $60^{\circ}$ なので,
$60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$ (rad)
が成り立ちます。

半径1にすれはℓが弧度θになる

先ほど, 半径2でやりましたが, 半径1にすれば, $\theta=\dfrac{\ell}{1}=\ell$ となるので, 弧の長さ $\ell$ が直接 $\theta$ (rad)になります。つまり,
$\theta=2\pi\cdot1\times\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{\pi}{3}$ (rad)
となります。
ここで, 半径1の円の円周を考えると, 円1周が何radか知れるので計算すると,
$\theta=2\pi$ (rad)
これは, 度数法でいうと, 360 $^{\circ}$ にあたるので,
$360^{\circ}=2\pi$ (rad)
という関係ができ, 両辺を360 $^{\circ}$ で割ると,
$1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180^{\circ}}$ (rad) $=0.0174\cdots$
逆に両辺を2 $\pi$ で割ると,
$1$ (rad) $=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ}=57.295\cdots$
となります。
また, $180^{\circ}=\pi$ (rad), $360^{\circ}=2\pi$ (rad)
となります。
実際扱うときは,
$1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180^{\circ}}$ (rad)を用いて解いていきます。

弧度法

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\theta=\dfrac{\ell}{r}$ (rad)：これは度数法を用いて半径1の扇形の弧の長さを考えればよい
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $180^{\circ}=\pi$ (rad), $360^{\circ}=2\pi$ (rad)
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $a^{\circ}=a^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180^{\circ}}$ (rad)

度数法を弧度法に

【例①】45 $^{\circ}$ , 90 $^{\circ}$ , 120 $^{\circ}$ を弧度法に書き直しなさい。
【解法】それぞれ $\dfrac{\pi}{180^{\circ}}$ をかけると求まる。
45 $^{\circ}$ は, $\dfrac{45^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{\pi}{4}$
80 $^{\circ}$ は, $\dfrac{80^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{4}{9}\pi$
120 $^{\circ}$ は, $\dfrac{120^{\circ}}{180^{\circ}}\pi=\dfrac{2}{3}\pi$
感覚的には180 $^{\circ}$ で割るイメージ。

弧度法を度数法に

【例②】 $\dfrac{1}{6}\pi$ , $\dfrac{2}{5}\pi$ , $\dfrac74\pi$ を弧度法に書き直しなさい
【解法】それぞれ, $\pi$ を180 $^{\circ}$ に置き換えてかけると求まります。
$\dfrac{1}{6}\pi$ は, $\dfrac{1}{6}\times180^{\circ}=30^{\circ}$
$\dfrac{2}{5}\pi$ は, $\dfrac{2}{5}\times180^{\circ}=72^{\circ}$
$\dfrac74\pi$ は, $\dfrac74\times180^{\circ}=315^{\circ}$
感覚的には180 $^{\circ}$ をかけるイメージ。

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