TikZ:高校数学:180°を越える三角関数

こんにちは。今回は180^{\circ}を越える場合の三角関数について書いておきます。

高1と何ら変わらない

三角関数の定義は次のようでした。
以下のような半径rの円があって, その円周上の点をP(x, y)とする。\angle{\text{AOP}}=\thetaとするとき, \sin\theta, \cos\theta, \tan\thetaは以下の式で求められます。

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定義

    \[\sin\theta=\dfrac{y}{r},\ \cos\theta=\dfrac{x}{r},\ \tan\theta=\dfrac{r}{x}\]


ただし, \theta=90^{\circ}, 270^{\circ}など, Pがy軸にくる場合では, \tan\thetaは定義されない(分母が0になるため)とする。

例題をやってみる

今回この定義が引き継がれることになります。したがって, \theta=240^{\circ}とした場合を考えると, 次のように円を書いて考えることになります。

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このとき, 点Pの座標は, P(-1, -\sqrt3), 半径は2, 定義より,
\sin\theta=\dfrac{y}{r},\ \cos\theta=\dfrac{x}{r},\ \tan\theta=\dfrac{r}{x}であるから,
\sin240^{\circ}=-\dfrac{\sqrt3}{2}
\cos240^{\circ}=-\dfrac{1}{2}
\tan240^{\circ}=\dfrac{-\sqrt3}{-1}=\sqrt3

各象限でのsin,cos,tanの符号

また, 各象限での\sin, \cos, \tanの符号は次のようになります。


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