TikZ：高校数学：三角関数を含む方程式②

こんにちは。今回は三角関数を含む方程式の第2弾ということでいきます。例題を解きながら見ていきます。

θの範囲に注意する

【例①】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\sin\left(\theta-\dfrac13\pi\right)=-\dfrac{1}{2}$ を解け。
【解法】基本的な考え方は方程式①の解き方でいいのですが, $\theta$ の範囲が少々複雑です。
$\theta-\dfrac13\pi$ の範囲で答えを考えなくてはいけないので, 問題にある, $0\leqq \theta<2\pi$ の各辺から $\dfrac13\pi$ を引くと, $-\dfrac13\pi\leqq\theta-\dfrac13\pi<\dfrac53\pi$ となり, この範囲で, 解を考えることになります。ここで, $\theta-\dfrac13\pi=t$ と置くと, $\sin t=-\dfrac12$ ,　 $-\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac53\pi$ となり, 従来の解き方に帰着します。 $t$ の範囲から, $t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi$ となり, $t$ を元に戻して,
$\theta-\dfrac13\pi=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi$
右辺に $\dfrac13\pi$ を移行して,
$\theta=\dfrac16\pi, \dfrac32\pi\cdots$ (答)

【例②】 $0\leqq \theta<2\pi$ のとき, 方程式 $\sin\left(2\theta-\dfrac13\pi\right)=-\dfrac{1}{2}$ を解け。
【解法】この場合, 上と異なるのは $\theta$ の範囲になる。 $2\theta-\dfrac13\pi$ となっているので, 問題の $0\leqq \theta<2\pi$ の範囲をそれに合わせるために, 各辺2倍して $-\dfrac13\pi$ を加えると, $-\dfrac13\pi\leqq 2\theta-\dfrac13\pi<\dfrac{11}{3}\pi$ となり, この範囲で解を考えることになる。
$2\theta-\dfrac13\pi=t$ として,
$\sin t=-\dfrac12$ ,　 $-\dfrac13\pi\leqq t<\dfrac{11}{3}\pi$ とすると,
上の図から, この範囲で解を求めると,
$t=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi, \dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi$
$t$ を元に戻して,
$\theta-\dfrac13\pi=-\dfrac16\pi, \dfrac76\pi, \dfrac{11}{6}\pi, \dfrac{19}{6}\pi$
右辺に $\dfrac13\pi$ を移行して,
$\theta=\dfrac16\pi, \dfrac32\pi, \dfrac{13}{6}\pi, \dfrac72\pi\cdots$ (答)

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