こんにちは。今回は加法定理の証明ということで, よく書いてあるのが, 単位円を使ったやつですが, 今回は三角形を用いた証明でやってみたいと思います。
加法定理
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![Rendered by QuickLaTeX.com \sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c8c034d0d7da31f7327aea7f5a78211_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b63b7056368065656791032d3490669_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b80a17189d26f2aa3d89a54364de2730_l3.png)
sinの加法定理の証明
の証明
下の図のような三角形で, CB, AC
, AB
,
とすると,
AD, BD
となる。
このとき,
![Rendered by QuickLaTeX.com c=a\cos\beta+b\cos\alpha\cdots\textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a42a6cf677029fca13fc6457195e8322_l3.png)
また, △ABCに正弦定理を適用すると,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\left\{180^{\circ}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}}=2R](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb255e5de43281ad82909de006792071_l3.png)
となるので,
![Rendered by QuickLaTeX.com a=2R\sin\alpha](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e8dc564b7379b9bb515c4dd9b8659b4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com b=2R\sin\beta](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e95e8b65026deceb0bb79158a898ab1e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com c=2R\sin\left\{180^{\circ}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}=2R\sin\left(\alpha+\beta\right)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-157dc79dd2c989fcef652bb2fc21ece1_l3.png)
これらを
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 1}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6c409597cd1edd40f9cf5a0814f6312_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2R\sin\left(\alpha+\beta\right)=2R\sin\alpha\cos\beta+2R\sin\beta\cos\alpha](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-714bcf85926b3f72738ed9daec8c31a2_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1171e9689b838eda41f2113c2d84e765_l3.png)
三角形が鈍角の場合, 下の図のような
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9da9c1b46f8817a14a1dc17dab7d2a84_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =a](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef5e023296fbcd93fca7ae7d8fb99e99_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =b](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81fba85cf686691bdff648859f638669_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =c](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9dbab1b5e2afc23adec9c82b4edb6b32_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{A}=\alpha, \angle{B}=\beta](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28cf2e8aff0135a27f0648cf022c674f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =b\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5fbeb47eb09e4a0810b495b99e2250ad_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =a\cos\beta](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c08ed0c7512015377a5de46723281bc5_l3.png)
このとき,
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}c&=&a\cos\beta-b\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right)\\&=&a\cos\beta+b\cos\alpha\end{array}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0923edde46fe455f2338805a1a95929_l3.png)
となる。以下先と同じ正弦定理を用いて証明する。(割愛)
この証明から, が得られ,
のを
に置き換えると,
よって,
以上より,
cosの加法定理の証明
の証明
の
を
に置き換えると,
よって, を
に置き換えると,
よって,
以上より,
tanの加法定理の証明
の証明
これまでの証明を利用すると, は次のように書き換えることができる。
右辺の分子分母をで割ると,
以上より,