TikZ:高校数学:三角形を使った加法定理の証明

こんにちは。今回は加法定理の証明ということで, よく書いてあるのが, 単位円を使ったやつですが, 今回は三角形を用いた証明でやってみたいと思います。

加法定理
\textcircled{\scriptsize 1} \sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
\textcircled{\scriptsize 2} \cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
\textcircled{\scriptsize 3} \tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

sinの加法定理の証明

\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\betaの証明
下の図のような三角形で, CB=a, AC=b, AB=c, \angle{A}=\alpha, \angle{B}=\betaとすると,
AD=b\cos\alpha, BD=a\cos\betaとなる。

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このとき, c=a\cos\beta+b\cos\alpha\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
また, △ABCに正弦定理を適用すると,
\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\left\{180^{\circ}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}}=2R
となるので,
a=2R\sin\alpha
b=2R\sin\beta
c=2R\sin\left\{180^{\circ}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}=2R\sin\left(\alpha+\beta\right)
これらを\textcircled{\scriptsize 1}に代入すると,
2R\sin\left(\alpha+\beta\right)=2R\sin\alpha\cos\beta+2R\sin\beta\cos\alpha
よって,
\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
三角形が鈍角の場合, 下の図のような\alphaが鈍角の三角形で, CB=a, AC=b, AB=c, \angle{A}=\alpha, \angle{B}=\betaとすると,AD=b\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right), BD=a\cos\betaとなる。

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このとき,
\begin{array}{lll}c&=&a\cos\beta-b\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right)\\&=&a\cos\beta+b\cos\alpha\end{array}
となる。以下先と同じ正弦定理を用いて証明する。(割愛)

この証明から,
\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betaが得られ,
\beta-\betaに置き換えると,
\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\left(-\beta\right)+\cos\alpha\sin\left(-\beta\right)
よって,
\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
以上より,
\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

cosの加法定理の証明

\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\betaの証明
\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\alpha90^{\circ}+\alphaに置き換えると,
\sin\left\{\left(90^{\circ}+\alpha\rigt)+\beta\right\}=\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)\cos\beta+\cos\left(90^{\circ}+\alpha\right)\sin\beta
\sin\left\{90^{\circ}+\left(\alpha+\beta\right)\right\}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
よって,
\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\beta-\betaに置き換えると,
\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\left(-\beta\right)-\sin\alpha\sin\left(-\beta\right)
よって,
\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
以上より,
\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

tanの加法定理の証明

\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}の証明
\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\pm\beta\right)}{\cos\left(\alpha\pm\beta\right)}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
これまでの証明を利用すると, \textcircled{\scriptsize 1}は次のように書き換えることができる。
\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}
右辺の分子分母を\cos\alpha\cos\betaで割ると,
\begin{array}{lll}\tan\left(\alpha\pm\beta\right)&=&\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}}\pm\dfrac{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}{\cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}{1\mp\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\&=&\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{array}
以上より,
\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

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