TikZ：高校数学：三角形を使った加法定理の証明

こんにちは。今回は加法定理の証明ということで, よく書いてあるのが, 単位円を使ったやつですが, 今回は三角形を用いた証明でやってみたいと思います。

加法定理

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

sinの加法定理の証明

$\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ の証明
下の図のような三角形で, CB $=a$ , AC $=b$ , AB $=c$ , $\angle{A}=\alpha, \angle{B}=\beta$ とすると,
AD $=b\cos\alpha$ , BD $=a\cos\beta$ となる。

このとき, $c=a\cos\beta+b\cos\alpha\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
また, △ABCに正弦定理を適用すると,
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\left\{180^{\circ}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}}=2R$
となるので,
$a=2R\sin\alpha$
$b=2R\sin\beta$
$c=2R\sin\left\{180^{\circ}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}=2R\sin\left(\alpha+\beta\right)$
これらを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入すると,
$2R\sin\left(\alpha+\beta\right)=2R\sin\alpha\cos\beta+2R\sin\beta\cos\alpha$
よって,
$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
三角形が鈍角の場合, 下の図のような $\alpha$ が鈍角の三角形で, CB $=a$ , AC $=b$ , AB $=c$ , $\angle{A}=\alpha, \angle{B}=\beta$ とすると,AD $=b\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right)$ , BD $=a\cos\beta$ となる。

このとき,
$\begin{array}{lll}c&=&a\cos\beta-b\cos\left(180^{\circ}-\alpha\right)\\&=&a\cos\beta+b\cos\alpha\end{array}$
となる。以下先と同じ正弦定理を用いて証明する。(割愛)

この証明から,
$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ が得られ,
の $\beta$ を $-\beta$ に置き換えると,
$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\left(-\beta\right)+\cos\alpha\sin\left(-\beta\right)$
よって,
$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
以上より,
$\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

cosの加法定理の証明

$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ の証明
$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ の $\alpha$ を $90^{\circ}+\alpha$ に置き換えると,
$\sin\left\{\left(90^{\circ}+\alpha\rigt)+\beta\right\}=\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)\cos\beta+\cos\left(90^{\circ}+\alpha\right)\sin\beta$
$\sin\left\{90^{\circ}+\left(\alpha+\beta\right)\right\}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
よって,
$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\beta$ を $-\beta$ に置き換えると,
$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\left(-\beta\right)-\sin\alpha\sin\left(-\beta\right)$
よって,
$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
以上より,
$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

tanの加法定理の証明

$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ の証明
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\pm\beta\right)}{\cos\left(\alpha\pm\beta\right)}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
これまでの証明を利用すると, $\textcircled{\scriptsize 1}$ は次のように書き換えることができる。
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}$
右辺の分子分母を $\cos\alpha\cos\beta$ で割ると,
$\begin{array}{lll}\tan\left(\alpha\pm\beta\right)&=&\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}}\pm\dfrac{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}{\cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}{1\mp\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\&=&\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{array}$
以上より,
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

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