TikiZ:高校数学:単位円を使った加法定理の証明

こんにちは。今回は単位円を使った加法定理の証明を行います。

加法定理
\textcircled{\scriptsize 1} \sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
\textcircled{\scriptsize 2} \cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
\textcircled{\scriptsize 3} \tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

cosの加法定理の証明

下図の単位円で, 点A( 1, 0 )を\alpha+\beta回転させた点Pの座標は, (\cos\left(\alpha+\beta\right), \sin\left(\alpha+\beta\right))となる。
このとき,
\begin{array}{lll}\text{AP}^2&=&\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-1\right)^2+\sin^2\left(\alpha+\beta\right)\\&=&\cos^2\left(\alpha+\beta\right)-2\cos\left(\alpha+\beta\right)+1+\sin^2\left(\alpha+\beta\right)\\&=&-2\cos\left(\alpha+\beta\right)+2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}
となります。

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次にこの△AOPを点Oを回転の中心として, -\alpha回転させた三角形を△A'OP'すると, 下図のようになり, A'の座標は(\cos\left(-\alpha\right), \sin\left(-\alpha\right))となるので, A'(\cos\alpha, -\sin\alpha)となる。点P'の座標は, P'(\cos\beta, -\sin\beta)となる。
このとき,
\begin{array}{lll}\text{A}'\text{P}'^2&=&(\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta+\sin\alpha)^2\\&=&\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\alpha\\&=&-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta+2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}
となる。

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△AOP\equiv△A'OP'なので, \textcircled{\scriptsize 1}=\textcircled{\scriptsize 2}として,
\begin{array}{rcl}-2\cos\left(\alpha+\beta\right)+2&=&-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta+2\\-2\cos\left(\alpha+\beta\right)&=&-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta\\\cos\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{array}
よって,
\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
が成立する。
\beta-\betaに置き換えると,
\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\left(-\beta\right)-\sin\alpha\sin\left(-\beta\right)
\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
が得られる。
以上より,
\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

sinの加法定理の証明

\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\alpha90^{\circ}+\alphaとすると,
\begin{array}{rcl}\cos\left\{\left(90^{\circ}+\alpha\right)+\beta\right\}&=&\cos\left(90^{\circ}+\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)\sin\beta\\\cos\left\{90^{\circ}+\left(\alpha+\beta\right)\right\}&=&\cos\left(90^{\circ}+\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)\sin\beta\\-\sin\left(\alpha+\beta\right)&=&-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\\sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{array}
よって,
\sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
が得られ, この式で, \beta-\betaで置き換えると,
\sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\left(-\beta\right)+\cos\alpha\sin\left(-\beta\right)
\sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
が得られる。
以上より,
\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

tanの加法定理の証明

\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}の証明
\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\pm\beta\right)}{\cos\left(\alpha\pm\beta\right)}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
これまでの証明を利用すると, \textcircled{\scriptsize 1}は次のように書き換えることができる。
\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}
右辺の分子分母を\cos\alpha\cos\betaで割ると,
\begin{array}{lll}\tan\left(\alpha\pm\beta\right)&=&\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}}\pm\dfrac{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}{\cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}{1\mp\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\&=&\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{array}
以上より,
\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

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