TikiZ：高校数学：単位円を使った加法定理の証明

こんにちは。今回は単位円を使った加法定理の証明を行います。

加法定理

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

cosの加法定理の証明

下図の単位円で, 点A( 1, 0 )を $\alpha+\beta$ 回転させた点Pの座標は, $(\cos\left(\alpha+\beta\right), \sin\left(\alpha+\beta\right))$ となる。
このとき,
$\begin{array}{lll}\text{AP}^2&=&\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-1\right)^2+\sin^2\left(\alpha+\beta\right)\\&=&\cos^2\left(\alpha+\beta\right)-2\cos\left(\alpha+\beta\right)+1+\sin^2\left(\alpha+\beta\right)\\&=&-2\cos\left(\alpha+\beta\right)+2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}$
となります。

次にこの△AOPを点Oを回転の中心として, $-\alpha$ 回転させた三角形を△A $'$ OP $'$ すると, 下図のようになり, A $'$ の座標は $(\cos\left(-\alpha\right), \sin\left(-\alpha\right))$ となるので, A $'$ ( $\cos\alpha, -\sin\alpha$ )となる。点P $'$ の座標は, P $'$ ( $\cos\beta, -\sin\beta$ )となる。
このとき,
$\begin{array}{lll}\text{A}'\text{P}'^2&=&(\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta+\sin\alpha)^2\\&=&\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\alpha\\&=&-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta+2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}$
となる。

△AOP $\equiv$ △A $'$ OP $'$ なので, $\textcircled{\scriptsize 1}=\textcircled{\scriptsize 2}$ として,
$\begin{array}{rcl}-2\cos\left(\alpha+\beta\right)+2&=&-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta+2\\-2\cos\left(\alpha+\beta\right)&=&-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta\\\cos\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{array}$
よって,
$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
が成立する。
$\beta$ を $-\beta$ に置き換えると,
$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\left(-\beta\right)-\sin\alpha\sin\left(-\beta\right)$
$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
が得られる。
以上より,
$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

sinの加法定理の証明

$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ で $\alpha$ を $90^{\circ}+\alpha$ とすると,
$\begin{array}{rcl}\cos\left\{\left(90^{\circ}+\alpha\right)+\beta\right\}&=&\cos\left(90^{\circ}+\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)\sin\beta\\\cos\left\{90^{\circ}+\left(\alpha+\beta\right)\right\}&=&\cos\left(90^{\circ}+\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)\sin\beta\\-\sin\left(\alpha+\beta\right)&=&-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\\sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{array}$
よって,
$\sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
が得られ, この式で, $\beta$ を $-\beta$ で置き換えると,
$\sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\left(-\beta\right)+\cos\alpha\sin\left(-\beta\right)$
$\sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
が得られる。
以上より,
$\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

tanの加法定理の証明

$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ の証明
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\pm\beta\right)}{\cos\left(\alpha\pm\beta\right)}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
これまでの証明を利用すると, $\textcircled{\scriptsize 1}$ は次のように書き換えることができる。
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}$
右辺の分子分母を $\cos\alpha\cos\beta$ で割ると,
$\begin{array}{lll}\tan\left(\alpha\pm\beta\right)&=&\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}}\pm\dfrac{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}{\cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}{1\mp\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\&=&\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{array}$
以上より,
$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

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