高校数学：データの値がa倍されたらどうなる

こんにちは。今回はデータの値がすべて $a$ 倍されたら, 平均, 偏差, 分散, 標準偏差, 相関係数がどう変わるか見ていきます。

平均

データ $x_1, x_2, x_3, \cdots,x_n$ の平均を $\overline{x}$ とすると,
$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3\cdots+x_n\right)$
ここで, データをそれぞれ $a$ 倍して平均 $\overline{x'}$ をとると,
$\begin{array}{rcl}\overline{x'}&=&\dfrac{1}{n}\left( ax_1+ax_2+ax_3+\cdots+ax_n\right)\\&=&a\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3\cdots+x_n\right) }_{\LARGE{\overline{x}}} \\&=&a\cdot\overline{x}\end{array}$
このように, 平均は $a$ 倍されることが分かります。

偏差

偏差はデータと平均との差なので, データは $a$ 倍されて, 平均も先の計算から $a$ 倍されることから, 偏差は $a$ 倍されることが分かります。以下参照ください。
$\begin{array}{rcl}ax_1-a\overline{x}&=&a\left(x_1-\overline{x}\right)\\ax_2-a\overline{x}&=&a\left(x_2-\overline{x}\right)\\ax_3-a\overline{x}&=&a\left(x_3-\overline{x}\right)\\&\vdots&\\ax_n-a\overline{x}&=&a\left(x_n-\overline{x}\right)\end{array}$
このように右辺の結果は, $a$ 倍されることが分かります。

分散

分散は偏差の2乗の平均ですから, 元の分散を $s^2$ とすると,
$s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}$
$a$ 倍されたデータでは, 偏差が $a$ 倍されるので, その分散 $s'^2$ は,
$\begin{array}{rcl}s'^2&=&\dfrac{1}{n}\left[\left\{a\left(x_1-\overline{x}\right)\right\}^2+\left\{a\left(x_2-\overline{x}\right)\right\}^2+\left\{a\left(x_3-\overline{x}\right)\right\}^2+\cdots+\left\{a\left(x_n-\overline{x}\right)\right\}^2\right]\\&=&a^2\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\} }_{\LARGE{s^2}} \\&=&a^2\cdot s^2\end{array}$
したがって, 分散は元の分散の $a^2$ 倍になる。

標準偏差

標準偏差 $s'$ は分散の正の平方根なので,
分散が $a^2$ 倍されるなら標準偏差は $|a|$ 倍されます。絶対値が付いてるのは $a<0$ の場合を考慮してのことです。
$s'=|a|s$ となります。 $s$ は元の標準偏差です。

相関係数

2つのデータ $x_1, x_2, x_3,\cdots, x_n$ ,　 $y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n$ があるとき, 共分散 $s_{xy}$ は次式で与えられます。
$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\}$
また, それぞれのデータの標準偏差を $s_x$ , $s_y$ とすると,
相関係数 $r$ は
$r=\dfrac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}$
で与えられます。
相関係数を片方のデータ $(x_k : k=1, 2, 3\cdots n)$ を $a$ 倍したとき, 両方のデータを $a$ 倍したときで見ていきます。
【Case1】
片方のデータ $(x_k : k=1, 2, 3\cdots n)$ を $a$ 倍したときの共分散 $s'_{xy}$ は, 平均 $\overline{x}$ も $a$ 倍されるので,
$\begin{array}{rcl}s'_{xy}&=&\dfrac{1}{n}\left\{a\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+a\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+a\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\}\\&=&a\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\} }_{\LARGE{s_{xy}}} \\&=&a\cdot s_{xy}\end{array}$
標準偏差は $|a|$ 倍されるので, このときの標準偏差を $s'_{x}$ とすると,
$s'_{x}=|a|s_x$
したがって, このときの相関係数 $r'$ は,
$\begin{array}{rcl}r'&=&\dfrac{s'_{xy}}{s'_x\cdot s_y}\\&=&\dfrac{a\cdot s_{xy}}{|a|s_x\cdot s_y}\\&=&\dfrac{a}{|a|}\cdot r\end{array}$
これは, $a>0$ なら1倍で変化がなく, $a<0$ なら $-1$ 倍で, 元の相関関係の位置関係が上下逆(例：強い正の相関が強い負の相関になる)になることが分かります。
【Case2】
両方のデータ $(x_k, y_k, k=1, 2, 3\cdots n)$ を $a$ 倍したときの共分散 $s''_{xy}$ は,
$\begin{array}{rcl}s''_{xy}&=&\dfrac{1}{n}\left\{a^2\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+a^2\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+a^2\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\}\\&=&a^2\cdot \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)\right\} }_{\LARGE{s_{xy}}} \\&=&a^2\cdot s_{xy}\end{array}$
このように, 共分散は $a^2$ 倍されます。
また, 標準偏差 $s''_x, s''_y$ はそれぞれ, $s''_x=|a|s_x, s''_y=|a|s_y$ であるから, このときの相関係数 $r''$ は,
$\begin{array}{rcl}r''&=&\dfrac{s''_{xy}}{s''_x\cdot s''_y}\\&=&\dfrac{a^2\cdot s_{xy}}{|a|s_x\cdot |a|s_y}\\&=&\dfrac{\cancel{a^2}\cdot s_{xy}}{\cancel{a^2}\cdot s_x\cdot s_y}\\&=&r\end{array}$
となり, 元の相関係数と変化がないことがわかる。