高校数学:群数列の求め方(n群の最初の数)

こんにちは。今回は群数列についてです。例題を解きながら見ていきましょう。

n群の最初の数

【例題】次のように正の奇数の数列を, 順に2個, 4個, 6個, \cdotsの群に分ける。
1 , 3| 5, 7, 9, 11| 13, 15, 17, 19, 21, 23 | \cdots
(1) n群に入る最初の奇数を求めよ。
(2) 8群に入るすべての数の和を求めなさい。
【解法】
(1) 群がないときの一般項を考えると, a_k=2k-1
このとき群に入る個数は2個, 4個, 6個, \cdotsなので個数の数列は, b_k=2kである。
n\geqq2のとき, n群の最初の数は数列a_kの何番目かというと b_k(個数)のn-1番目までの和に1(n群の1番目)をたしたものであることがわかる。
したがって, その何番目かというのを求めると, m番目として
\begin{array}{rcl}m&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2n+1\\&=&2\cdot\dfrac12(n-1)n+1\\&=&n^2-n+1\end{array}
これはn=1のときも成り立つ。
これで何番目かわかったので,
求める数列は
\begin{array}{rcl}a_m&=&2m-1\\&=&2(n^2-n+1)-1\\&=&2n^2-2n+1\end{array}
よって, 2n^2-2n+1\cdots(答)
(2) 8群の最初の数は, (1)より113, 8群は項数が2\cdot8=16なので, 8群の末項は113+2\times(16-1)=143
したがって, 8群に入るすべての数の総和は, 等差数列の和の公式から,
\dfrac{(113+143)\times16}{2}=2048
2048\cdots(答)

群数列n群の最初の数
\textcircled{\scriptsize 1} 群を無視して一般項a_kを求める。
\textcircled{\scriptsize 2} 個数の数列b_kを求める。
\textcircled{\scriptsize 3} n-1番目までの個数の数列の和を求めそれに1を加える。これをmとする。
\textcircled{\scriptsize 4} a_kk\textcircled{\scriptsize 3}で求めたmで置き換える。


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