高校数学：数列：数列と幾何(岩手大学)

2021年8月1日2024年2月17日

こんにちは。今回は岩手大学から数列の問題です。それではどうぞ。

岩手大学

座標平面上に3点O(0, 0), P $_1$ ( $\sqrt3$ , 1), P $_2$ ( $\sqrt3$ , 0)をとる。点P $_2$ から線分OP $_1$ に引いた垂線と線分OP $_1$ との交点をP $_3$ とする。
次に, 点P $_3$ から線分OP $_2$ に引いた垂線と線分OP $_2$ との交点をP $_4$ とする。この操作を繰り返すことにより, 点P $_n$ を定める。すなわち, 点P $_{n-1}$ からOP $_{n-2}$ に引いた垂線と線分１OP $_{n-2}$ との交点をP $_n$ とする。このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) 三つの線分P $_1$ P $_2$ , P $_2$ P $_3$ , P $_3$ P $_4$ の長さをそれぞれ求めよ。
(2) 線分P $_n$ P $_{n+1}$ の長さを $n$ を用いて表せ。
(3) 三つの三角形OP $_1$ P $_2$ , OP $_2$ P $_3$ , OP $_3$ P $_4$ の面積をそれぞれ求めよ。
(4) 三角形OP $_n$ P $_{n+1}$ の面積を $n$ を用いて表せ。
(5) 三角形OP $_n$ P $_{n+1}$ の面積を $a_n$ とおき,
$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$
と定義する。 $S_n$ は $2\sqrt3$ 以上にならないことを証明せよ。
【岩手大】