高校数学:数列:数列と幾何(岩手大学)

こんにちは。今回は岩手大学から数列の問題です。それではどうぞ。

岩手大学

座標平面上に3点O(0, 0), P_1(\sqrt3, 1), P_2(\sqrt3, 0)をとる。点P_2から線分OP_1に引いた垂線と線分OP_1との交点をP_3とする。
次に, 点P_3から線分OP_2に引いた垂線と線分OP_2との交点をP_4とする。この操作を繰り返すことにより, 点P_nを定める。すなわち, 点P_{n-1}からOP_{n-2}に引いた垂線と線分1OP_{n-2}との交点をP_nとする。このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) 三つの線分P_1P_2, P_2P_3, P_3P_4の長さをそれぞれ求めよ。
(2) 線分P_nP_{n+1}の長さをnを用いて表せ。
(3) 三つの三角形OP_1P_2, OP_2P_3, OP_3P_4の面積をそれぞれ求めよ。
(4) 三角形OP_nP_{n+1}の面積をnを用いて表せ。
(5) 三角形OP_nP_{n+1}の面積をa_nとおき,
S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n
と定義する。S_n2\sqrt3以上にならないことを証明せよ。
【岩手大】

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