高校数学：定期テスト対策：因数定理を含む3次方程式の問題

こんにちは。定期テストのレベルだと思います。早速行ってみましょう。

問題

【問題】 $x$ についての多項式 $P(x)=x^3+(a-1)x^2+(4-a)x-4$ について以下の問いに答えよ。
(1) $P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求めよ。
(2) 3次方程式 $P(x)=0$ が虚数解をもつとき, $a$ のとり得る範囲を求めよ。
(3) 3次方程式 $P(x)=0$ が2重解をもつとき, 実数 $a$ の値を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) $P(x)$ に $x=1$ を代入すると,
$1+(a-1)+(4-a)-4=0$
よって $0\cdots$ (答)
(2) (1)より, $P(x)$ は $x-1$ を因数にもつので,
$P(x)=0$
$(x-1)(x^2+ax+4)=0$
ことなるので, 3次方程式が虚数解をもつためには, 2次方程式 $x^2+ax+4=0$ の判別式 $D$ が負であることが条件。
よって,
$D=a^2-16<0$
$-4<a<4\cdots$ (答)
(3) $(x-1)(x^2+ax+4)=0$ が2重解をもつためには,
$\maru1$ $x^2+ax+4=0$ が $x=1$ を解にもつこと。そして他の解が $x=1$ でないこと。
$\maru2$ $x^2+ax+4=0$ が2重解をもち, その解が $x\neq1$ であること。
この $\maru1, \maru2$ を満たすことが条件になる。
$\maru1$ のとき,
$x^2+ax+4=0$ に $x=1$ を代入すると, $1+a+4=0$ , $a=-5$
このとき, $(x-1)(x-4)=0$ なので, 他の解は4なので条件を満たす。
$\maru2$ のとき,
$x^2+ax+4=0$ の判別式 $D$ は $a^2-16$ で, 2重解をもつためには, $D=0$ が条件なので,
$a^2-16=0$ , $a=\pm4$ となり, このときの解は $x=\pm2$ で条件を満たす。
以上より, 求める $a$ の値は,
$a=-5, \pm4\cdots$ (答)

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問題

解答例

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