高校数学：数C複素数：複素数と図形(愛知教育大)

こんにちは。定番と言えば定番問題ですかね？それではやっていきましょう。

愛知教育大学

【問題】(1) 複素数平面において, 方程式 $\left|z+1\right|=\left|z-1\right|$ を満たす点 $z$ 全体はどのような図形か答えよ。
(2) 複素数 $z\, (z\neq-1)$ に対し, $\omega=\dfrac{i(1-z)}{1+z}$ とする。このとき, どんな $z$ に対しても $\omega=-i$ とはならないことを示せ。ただし, $i$ は虚数単位を表す。
(3) 点 $z$ が(1)で求めた図形の上を動くとき, (2)の点 $\omega$ はどのような図形を描くか答えよ。
【愛知教育大】

解答・解説

【解答解説】
(1) 式の意味から, $z$ は複素平面上で, $-1$ と $1$ の垂直二等分線である。これは虚軸を表す。
したがって, $z$ 全体の表す図形は虚軸である。
(2) $\omega=-i$ として, 与式に代入すると,
$-i=\dfrac{i(1-z)}{1+z)}$
$-i(1+z)=i(1-z)$
$-1-z=1-z$
$-1=1$
となり, 矛盾する。したがって, $\omega=-i$ とはならない。
(3) 題意より, 考えるのは, $z$ が虚軸を動くときである。
このとき, $z+\overline{z}=0\cdots\maru1$ が成り立つことを利用する。
$\omega=\dfrac{i(1-z)}{1+z)}$ を $z$ について解くと,
$\omega(1+z)=i(1-z)$
$\omega+z\omega-i+zi=0$
$z(\omega+i)=i-\omega$
(2)より, $\omega\neq-i$ であるから,
$z=\dfrac{i-\omega}{\omega+i}$
$\maru1$ より,
$\dfrac{i-\omega}{\omega+i}+\dfrac{-i-\overline{\omega}}{\overline{\omega}-i}=0$
$(i-\omega)(\overline{\omega}-i)+(-i-\overline{\omega})(\omega+i)=0$
$\cancel{\overline{\omega}i}+1-\omega\overline{\omega}+\cancel{\omega i}-\cancel{\omega i}+1-\omega\overline{\omega}-\cancel{\overline{\omega}i}=0$
$2\omega\overline{\omega}=2$
$\left|\omega\right|^2=1$
$\left|\omega\right|=1$
よって $\omega$ は原点を中心とする半径1の円を描く。ただし, $\omega=-i$ は除く。

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解答・解説

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