高校数学：数列：数列と幾何(香川大学)

2021年8月1日2024年2月17日

こんにちは。今回は香川大学から数列の問題です。それではどうぞ。

香川大学の問題

$C_1$ を, 中心が(1, 1), 半径1の円とする。円 $C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$ を次のように定める。
円 $C_n$ は, $x$ 軸, $y$ 軸および円 $C_n$ の半径 $r_n$ は, 円 $C_{n-1}$ の半径 $r_{n-1}$ よりも小さいものとする。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1) Oを原点とし, $n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$ に対して $P_n$ を $C_n$ と $C_{n-1}$ の接点とするとき, OP $_n$ の長さを $r_n$ で表せ。
(2) $r_n$ と $r_{n-1}$ の関係を求め, 数列 ${r_n}$ が等比数列であることを示せ。
(3) 円 $C_6$ は, 原点を中心とした半径 $\dfrac{1}{1000}$ の円の内部に含まれることを示せ。
【香川大】

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