高校数学：数学的帰納法と等式の証明の解法

こんにちは。今回は帰納法と不等式の問題をやってみます。例題を見ながらいきましょう。

移行して大小比較

【例】すべての自然数に対して,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\leqq2-\dfrac{1}{n}$
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【解法】 $n=1$ のとき,
$\dfrac{1}{1^2}\leqq2-\dfrac{1}{1}$ より, $1=1$ で成り立つ。
$n=k$ のとき, 与式の不等式が成り立つと仮定すると,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}\leqq2-\dfrac{1}{k}$
$n=k+1$ のとき,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k+1}$
として, 左辺を右辺に移項すると,
$2-\dfrac{1}{k+1}-\left\{\underline{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\right\}\cdots\maru1$
$>2-\dfrac{1}{k+1}-\left(2-\dfrac{1}{k}\right)-\dfrac{1}{(k+1)^2}$
$=-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{(k+1)^2}$
$=\dfrac{-k(k+1)+(k+1)^2-k}{k(k+1)^2}$
$=\dfrac{1}{k(k+1)^2}>0$
となり, $n=k+1$ において,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k+1}$
が成り立つ。したがって, すべての自然数に対して, 題意は成り立つ。
【ここでのコツ】 $\maru1$ の下線部は題意の不等式から $2-\dfrac{1}{k}$ で置き換えられるのですが, 下線部より $2-\dfrac{1}{k}$ の方が大きいので, 次の行の左側に $>$ が付いています。下線部より大きな値を引いても0より大きい事が言えるので, すべての自然数に対して成り立つ事が言える。

帰納法と不等式

$n=k+1$ のときの不等式で, 小さい方を大きい方に移行して, 移行したものの一部を元の不等式の大きい方で置き換えて, 大小比較を行う。

同じものを加えて大小比較

次の解法もありだと思うのだが, どうなんだろう。
【解法】上の解法と違うところから書いておきます。
$n=k+1$ のとき, 両辺に $\dfrac{1}{(k+1)^2}$ を加えると,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}$
このとき, 右辺と $2-\dfrac{1}{k+1}$ の大小を比較すると,
$2-\dfrac{1}{k+1}-\left\{2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\right\}$
$=-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{(k+1)^2}$
$=\dfrac{-k(k+1)+(k+1)^2-k}{k(k+1)^2}$
$=\dfrac{1}{k(k+1)^2}>0$
よって,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}<2-\dfrac{1}{k+1}$
このことから $n=k+1$ のときも成り立つ。
したがって, すべての自然数に対して題意の不等式は成り立つ。
【ここでのコツ】等式の証明のときのように, 両辺に同じものを加え, その加えたものと, 大きい方の $k+1$ 番目の数との大小を比較して $k+1$ 番目の方が大きいので, その結果, 小さい方の数はやはり小さかったという結論に至る。