高校数学：数学的帰納法と等式の証明

こんにちは。今回は数列に登場する和の公式を例題として証明していきます。

n=k+1番目の項を両辺に加えて変形

【例】自然数 $n$ に対して,
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)$
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
【解法】 $n=1$ のとき,
$1=\dfrac16\cdot1\cdot2\cdot3=1$ で成り立つ。
$n=k$ のとき, 与式の等式が成り立つとすると,
$1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\dfrac16k(k+1)(2k+1)$
$n=k+1$ のとき, 両辺に $(k+1)^2$ を加えると,
$\begin{array}{lll}&&1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2\\&=&\dfrac16k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2\\&=&\dfrac16(2k^3+3k^2+k)+k^2+2k+1\\&=&\dfrac13k^3+\dfrac12k^2+\dfrac16k+k^2+2k+1\\&=&\dfrac13k^3+\dfrac32k^2+\dfrac{13}{6}k+1\\&=&\dfrac16(2k^3+9k^2+13k+6)\\&=&\dfrac16(k+1)(k+2)(2k+3)\\&=&\dfrac16(k+1)\{(k+1)+1\}\{2(k+1)+1\}\end{array}$
よって, $n=k+1$ のときも成り立つ。
したがって, すべての自然数に対して題意は成り立つ。

【結論が予測しやすい】 $n=k+1$ において, 与式の右辺が $\dfrac16(k+1)\{(k+1)+1\}\{2(k+1)+1\}$ , つまり, $\dfrac16(k+1)(k+2)(2k+3)$ なることは予測できます。したがって, そうなるように持ち込んでけばよい。今回は両辺に左辺の $k+1$ 番目の項を加えることで解決しています。今回証明で因数分解を行っていますが, 因数定理とたすき掛けを用いて行っています。因数定理で適当な値が見つからなければ, 結果 $\left\{\dfrac16(k+1)(k+2)(2k+3)\right\}$ から予測してもいいでしょう。