TikZ：高校数学：解法のテクニック・定数分離の解法

こんにちは。今回は定数分離を用いた解法のご紹介です。例題を解きながら見ていきましょう。

定数分離の解法

【例】 $x$ についての3次方程式 $x^3-3x^2-a=0$ の異なる実数解の個数を調べよ。
【解法】与式の方程式における $-a$ を右辺に移項(定数分離)する。
$x^3-3x^2=a$ とすると, これは関数 $y=x^3-3x^2\cdots\maru1$ と $y=a\cdots\maru2$ のグラフの交点を求めていることに帰着する。
したがって, $\maru1$ のグラフを描いて, $\maru2$ との交点の個数を調べることで, 異なる実数解の個数がわかるという仕組みになっている。 2つのグラフを描いてみると,

赤の線のとき, グラフの交点は3つあり, 異なる実数解は3個あることがわかり,
青の線のとき, グラフの交点は2つあり, 異なる実数解は2個あることがわかり,
緑の線のとき, グラフの交点は1つあり, 異なる実数解は1個あることがわかる。
したがって, 求める $a$ の範囲は,
$-4<a<0$ のとき, 異なる実数解は3個,
$a=-4, 0$ のとき, 異なる実数解は2個,
$a<-4, a>0$ のとき, 異なる実数解の個数は1個

定数分離の応用問題

【例】関数 $y=x^3$ に点 $(2, a)$ から異なる接線が3本引けるような $a$ の範囲を求めよ。
【解法】接線なので, 関数を微分して接線を求める作業をします。接点の座標は, 関数上の点 $(t, t^3)$ とします。
$y'=3x^2$ より接線の方程式は,
$y=3t^2(x-t)+t^3$
よって, $y=3t^2x-2t^3$ が接線の方程式となる。
これが, $(2, a)$ を通るので,
$a=6t^2-2t^3$
となり, この $t$ の3次方程式が異なる3つの実数解(接点が3つ)を持てばよいので,
$y=-2t^3+6t^2$ , $y=a$ のグラフを描いて $a$ の範囲を求めると,
$0<a<8$