こんにちは。今回は面積の値が一定になることの証明問題をやってみましょう。それではどうぞ。
面積の値が一定になることを示す問題
【問題】放物線上の点
における放物線の接線と放物線
で囲まれた図形の面積は,
の値に関係なく一定であることを示せ。
【解答】を
について微分すると,
点は
上にあるので,
が成り立ち.
点は, 点
と書ける。これを点Pとする。
したがって, この点Pにおける接線の方程式は, とおけ,
となる。
この直線との交点の
座標を求めると,
となる。
この様子を図示すると, 以下のようになる。
したがって, 求める面積は,
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}&&\displaystyle\int^{a+1}_{a-1}\left(2ax-a^2+1-x^2\right)\,dx\\&=&-\displaystyle\int^{a+1}_{a-1}(x-a-1)(x-a+1)\,dx\\&=&\dfrac{\left\{(a+1)-(a-1)\right\}^3}{6}\\&=&\dfrac43\end{array}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6921fa4146652f690f61cc654a7d3aef_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e4239cd9fe5a53bc98c863c75818b12_l3.png)