TikZ：高校数学：積分：面積の二等分線

2021年12月31日2022年12月19日

こんにちは。今回は放物線と $x$ 軸に囲まれた面積の二等分線について考えていきましょう。

面積を二等分する直線の傾き

【問題】直線 $y=kx$ が, 放物線 $y=-x^2+2x$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を2等分するように, 定数 $k$ の値を定めよ。

【解答】放物線 $y=-x^2+2x$ と直線 $y=kx$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。
2つのグラフの交点を求めると,
$-x^2+2x=kx$
$-x^2+(2-k)x=0$
$-x\left\{x-(2-k)\right\}=0$
$x=0, 2-k$
面積を2等分するためには, $0<2-k<2$ であることが条件,
これより, $0<k<2\cdots\maru1$

ここで,
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle \int^{2-k}_0\left\{(2x-x^2)-kx\right\}\,dx\\&=&-\displaystyle\int^{2-k}_0x\left\{x-(2-k)\right\}\,dx\\&=&\dfrac{(2-k)^3}{6}\cdots\maru2\end{array}$
放物線と $x$ 軸で囲まれた面積 $S'$ は,
$\begin{array}{lll}S'&=&\displaystyle\int^2_0(-x^2+2x)\,dx\\&=&-\displaystyle\int^2_0x(x-2)\,dx\\&=&\dfrac{2^3}{6}\\&=&\dfrac43\cdots\maru3\end{array}$
$\maru2$ の面積が $\maru3$ の半分になればいいので,
$\dfrac{(2-k)^3}{6}=\dfrac12\cdot\dfrac43$
$\dfrac{(2-k)^3}{6}=\dfrac23$
$(2-k)^3=4$
$2-k=\sqrt[3]{4}$
$k=2-\sqrt[3]{4}$
これは $\maru1$ を満たす。
$k=2-\sqrt[3]{4}\cdots$ (答)

面積を二等分する直線の傾き

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