高校数学：空間ベクトル：同一平面上にある点の求め方

2022年1月2日2022年5月2日

こんにちは。今回は空間における座標で, 4点が同じ平面上にあるとき, 未知の座標を求めるというもの。例題を見ながらいってみましょう。

例題を見てみよう

【例題】4点A $(1, 1, 0)$ , B $(3, 4, 5)$ , C $(1, 3, 6)$ , D $(4, 5, x)$ が同じ平面上にあるとき, $x$ の値を定めよ。

同じ平面上にある条件を利用する

【方針】4点A, B, C, Dが同じ平面上にあるということは, $\bekutoru{AP}=s\bekutoru{AB}+t\bekutoru{AC}$ となる実数 $s, t$ が存在することになる。ことを利用して, $x$ の値を求める。
【解法】 4点A, B, C, Dが同じ平面上にあるということは, $\bekutoru{AP}=s\bekutoru{AB}+t\bekutoru{AC}\cdots\maru1$ となる実数 $s, t$ が存在することになる。
$\bekutoru{AP}=(3, 4, x)$ , $\bekutoru{AB}=(2, 3, 5)$ , $\bekutoru{AC}=(0, 2, 6)$ なので,
これらを $\maru1$ にあてはめると,
$(3, 4, x)=s(2, 3, 5)+t(0, 2, 6)$
これより,
$\begin{cases}3=2s\\4=3s+2t\\x=5s+6t\end{cases}$
これを解いて, $s=\dfrac32$ , $t=-\dfrac14$ , $x=6$
よって, $x=6$