高校数学：楕円の外部からの接線の求め方2選

こんにちは。今回は楕円の外側からの接線の式を2通りの求め方でやってみようと思います。例題を見ながらやっていきましょう。

例題

【例題】点(2, 1)から楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ に引いた接線を求めよ。

Case1：接線をy=m(x-2)+1とおく場合

【解法1】接線を $y=m(x-2)+1$ とおく。
これを楕円の式に代入すると,
$x^2+\dfrac{\left\{m(x-2)+1\right\}^2}{4}=1$
両辺4倍して展開すると,
$4x^2+m^2(x-2)^2+2m(x-2)+1=4$
$x$ について整理すると,
$(m^2+4)x^2+(-4m^2+2m)x+4m^2-4m-3=0$
これが重解をもつことから, 判別式 $D/4=0$ を用いると,
$(-2m^2+m)^2-(4+m^2)(4m^2-4m-3)=0$
$-12m^2+16m+12=0$
$3m^2-4m-3=0$
$m=\dfrac{2\pm\sqrt{13}}{3}$
よって求める接線の方程式は
$y=\dfrac{2\pm\sqrt{13}}{3}(x-2)+1$

Case2：楕円上の接点を(x₁, y₁)とおく場合

【解法2】楕円上の接点を $(x_1, y_1)$ と置き, 接線の方程式を, $x_1x+\dfrac{y_1y}{4}=1\cdots\maru1$ とおく。
$\maru1$ が点(2, 1)を通るので, $2x_1+\dfrac{y_1}{4}=1$ と置ける。これを $y_1$ について解くと,
$y_1=-8x_1+4\cdots\maru2$
ここで, $(x_1, y_1)$ は楕円上の点であるから,
$x_1^2+\dfrac{y_1^2}{4}=1\cdots\maru3$ が成り立つ。
$\maru3$ に $\maru2$ を代入すると,
$x_1^2+\dfrac{(-8x_1+4)^2}{4}=1$
展開して, 整理すると,
$17x_1^2-16x_1+3=0$
これを解いて,
$x_1=\dfrac{8\pm\sqrt{13}}{17}$
これと $\maru2$ から $y_1$ を求めると,
$\begin{array}{lll}y_1&=&-8\cdot\dfrac{8\pm\sqrt{13}}{17}+4\\&=&\dfrac{4\mp8\sqrt{13}}{17}\end{array}$
この $x_1, y_1$ を $\maru1$ に代入すると, 求める接線の方程式は,
$\left(\dfrac{8\pm\sqrt{13}}{17}\right)x+\left(\dfrac{1\mp2\sqrt{13}}{17}\right)y=1$