中学数学：令和4年度徳島県公立高校入試・数学・大問2　解説

こんにちは。公立高校の一般選抜試験から大問2を解説していきます。

カードを並べる問題

【問題】かずきさんとみさきさんは, 厚紙を切って, 3種類の図形A, B, Cをたくさんつくっている。図形Aは正方形, 図形Bは1辺の長さが図形Aの1辺の長さと等しく, 他方の辺の長さが1cmの長方形, 図形Cは1辺の長さが1cmの正方形である。(1)・(2)に答えなさい。
(1) 厚紙は, 赤, 青, 白, 黄, 緑の5色ある。この5色から3色選ぶとき, その選び方は全部で何通りあるか, 求めなさい。
(2) 2人は, 図形A, B, Cを何枚か組み合わせて, 重ならないようにすき間なくしきつめ, いろいろな四角形をつくろうと考えている。図形Aの1辺の長さを $x$ cmとして, (a)～(c)に答えなさい。
(a) 図形Aを1枚, 図形Bを3枚, 図形Cを2枚の合計6枚を組み合わせると, 1つの長方形をつくることができる。 $x=3$ のとき, この長方形の2辺の長さは, それぞれ何cmか, 求めなさい。
(b) かずきさんは, 図形Aを1枚, 図形Bを6枚, 図形Cを8枚の合計15枚を組み合わせて, 1枚の長方形をつくった。この長方形の周の長さを $x$ を用いて表しなさい。
(c) みさきさんは, 図形A, B, Cを何枚か組み合わせて, 1辺の長さが $(x+7)$ cmの正方形を1つつくった。この正方形の面積は, 図形Aを1枚, 図形Bを6枚, 図形Cを8枚の合計15枚を組み合わせてかずきさんがつくった1つの長方形の面積より105cm $^2$ 大きかった。このとき, $x$ の値を求めなさい。
「2022年徳島県公立高校入試」

解答　クリックしてください

(1) 5つから3つ選ぶとき, 必ず2つ残る。このことに着目すると, 5つから3つ選ぶことは5つから2つ選んで残った3つを選んでいけばいいことになる。つまり, 5つから3つ選ぶ場合の数は, 5つから2つ選ぶ場合の数と等しくなる。よって, 答えは　10通り
(2)
(a)面積に着眼すると, 図形Aは $x^2$ cm $^2$ , 図形Bは $x$ cm $^2$ , 図形Cは1cm $^2$ なので, この図形A, B, Cをそれぞれ, 1枚, 3枚, 2枚合わせた面積は, $x^2+3x+2$ となり, 因数分解すると, $(x+1)(x+2)$ となる。 $x=3$ なので, 代入すると, $4\times5$ となる。したがって, 4cmと5cmとなる。
4cm, 5cm $\cdots$ (答)

(b) (a)と同様面積に着目すると, 図形Aが1枚, 図形Bが6枚, 図形Cが8枚なので, 面積は
$x^2+6x+8$ (cm $^2$ )になり, 因数分解すると, $(x+2)(x+4)$ になる。したがって, 2つの辺の長さは, $x+2$ (cm), $x+4$ (cm)となるので, 求める周の長さは $2(x+2)+2(x+4)=4x+12$ (cm)
$4x+12$ (cm) $\cdots$ (答)