こんにちは。今回は複素数平面上で, 異なる3点が同一直線上に並ぶ場合と, 垂直に並ぶ場合ではどのような性質があるのか書いておきます。
複素数平面上の3点,
,
のつくる
の大きさを考えてみようと思います。同一直線上に並ぶ場合は, この
が
(
が
から見て
と同じ側にあるとき), または,
(
が
から見て
と反対側にあるとき)になることが考えられます。
このとき,
![Rendered by QuickLaTeX.com \kaku{BAC}=\theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24772071c967195a2d5ec298012330bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\mathrm{arg}\,\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=0,\pi](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc4da102fd5b1f632f4b13a9a972a774_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r(\cos0+i\sin0)=r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e75427252836dbfd90ba9660540d61c2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r(\cos\pi+i\sin\pi)=-r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07a3c67957f4d6b0c032401321cf0465_l3.png)
となりともに実数になります。
つまり, 3点が同一直線上にある場合,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01ccc8444ab4cb8cb21e27cc969969af_l3.png)
※2直線のなす角についてはこちらの記事を参照ください。
垂直に交わる場合も, 複素数平面上の3点,
,
のつくる
の大きさを考えてみようと思います。垂直に交わる場合は, この
が
, または
になることが考えられます。
このとき,
![Rendered by QuickLaTeX.com \kaku{BAC}=\theta](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24772071c967195a2d5ec298012330bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta=\mathrm{arg}\,\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-515038c5f1788c64140e8e3552c32432_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)=ri](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4cc4370bb0ae055aa8e8315232ddc5bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=r\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right\}=-ri](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87f8a2febfaba3c8459846e205f6e975_l3.png)
となりともに実数部のない純虚数になります。
つまり, 2直線が垂直に交わる場合,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01ccc8444ab4cb8cb21e27cc969969af_l3.png)
※2直線のなす角についてはこちらの記事を参照ください。
は実数とする。複素数平面上の4点
,
,
,
について, 次の問いに答よ。
3点
,
,
が一直線上にあるとき,
の値を求めよ。
2直線
,
が垂直に交わるとき,
の値を求めよ。
,
,
,
とする。
3点
,
,
が一直線上にあるとき,
が実数なので,
虚数部は0になるので,
よって, 2直線
,
が垂直に交わるとき,
が純虚数なので,
実数部は0になるので,
よって,
![](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2022/04/fuku2chokusennitusawauukai-160x92.png)