TikZ：高校数学：数III極限・指数関数の極限

こんにちは。今回は指数関数の極限について書いておきます。

グラフの概形から捉えよう

指数関数 $y=a^x$ は $a>0$ かつ $a\neq1$ を満たす関数で, 定義域はすべての実数 $x$ である。
指数関数のグラフを描くと次のようになる。
$a>1$ のとき,

$0<a<1$ のとき,

指数関数の極限

上のグラフからもわかるように, $a$ のとる範囲で指数関数の極限が変わってくる。

指数関数の極限

$\maru1$ 　 $a>1$ のとき,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x=0$
$\maru2$ 　 $0<a<1$ のとき,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x=\infty$

問題を見てみよう

【例】次の極限値を求めよ。
(1)　 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}$
(2)　 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}$

【解答例】
(1)　 $x\to\infty$ のときは, 分母の $a$ の最も大きいもの(ここでは $7^x$ )で分母分子を割ると求めやすい。
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^x+1}{\left(\dfrac{5}{7}\right)^x-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$
(2)　 $x\to-\infty$ のときは, $t=-x$ とおいて, $t\to\infty$ に置換して行うとよい。
$t=-x$ とおくと,
$\begin{array}{ccc}x&\to&-\infty\\t&\to&\infty\end{array}$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}&=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{5^{-t}+7^{-t}}{5^{-t}-7^{-t}}\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{5^t}+\dfrac{1}{7^t}}{\dfrac{1}{5^t}-\dfrac{1}{7^t}}\\&=&\dfrac{1+\left(\dfrac57\right)^t}{1-\left(\dfrac57\right)^t}\\&=&1\end{array}$