こんにちは。今回は平均値の定理について書いておきます。
平均値の定理
関数が閉区間
で連続, 開区間
で微分可能ならば,
を満たすが少なくとも1つは存在する。
これの意味するところは, この区間ABにおいて, 直線ABに平行な接線が, 少なくとも1本は引けるということである。したがって, (直線ABの傾き)

また, よくある質問で, 閉区間で連続で, 開区間で微分可能という表現で, 閉区間で微分可能ではだめなのですか?とよく聞かれる。これは関数が閉区間





【例】平均値の定理を用いて, 極限を求めよ。
【解答例】なので,
と考えてよい。このとき,
である。
関数はすべての実数
において微分可能である。また,
より, 閉区間
において平均値の定理を用いると,
,
を満たすが存在する。
ここで, ,
であるから,
よって,
【例】関数について,
のとき,
を満たすを,
で表せ。また, 極限
を求めよ。
【解答例】より,
であるから, これらを与式に代入すると,
これをについて解く。条件より
であるから,
の右辺の分子の有理化を行うと,
よって,
以上より,