TikZ：高校数学：数III微分・平均値の定理

こんにちは。今回は平均値の定理について書いておきます。

平均値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $a\leqq x\leqq b$ で連続, 開区間 $a<x<b$ で微分可能ならば,
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\,\, a<c<b$
を満たす $c$ が少なくとも1つは存在する。

これの意味するところは, この区間ABにおいて, 直線ABに平行な接線が, 少なくとも1本は引けるということである。したがって, (直線ABの傾き) $=$ (接線の傾き)という等式になっている。
また, よくある質問で, 閉区間で連続で, 開区間で微分可能という表現で, 閉区間で微分可能ではだめなのですか？とよく聞かれる。これは関数が閉区間 $a\leqq x\leqq b$ で定義されるとすると, 左端点 $a$ では, 端点の左側の関数が定義されないので, 左端点 $a$ の左側極限が定義されず, 同様に, 右端点 $b$ では, 端点の右側の関数が定義されないので, 右端点 $b$ の右側極限が定義されないことになる。よって, 端点では微分可能としていないのです。

問題を見てみよう

【例】平均値の定理を用いて, 極限 $\displaystyle\lim_{x\to+0}\dfrac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}$ を求めよ。

【解答例】
$x\to+0$ なので, $x>0$ と考えてよい。このとき, $\sin x<x$ である。
関数 $f(t)=e^t$ はすべての実数 $t$ において微分可能である。また, $f'(x)=e^x$ より, 閉区間 $\sin x\leqq x\leqq x$ において平均値の定理を用いると,
$\dfrac{e^x-\sin x}{x-\sin x}=e^c$ , $\,\,\sin x< c< x$
を満たす $c$ が存在する。
ここで, $\displaystyle\lim_{x\to+0}\sin x=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to+0}x=0$ であるから,
$\displaystyle\lim_{x\to+0}c=0$
よって,
$\displaystyle\lim_{x\to+0}\dfrac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to+0}e^c=e^0=1$

【例】関数 $f(x)=x^3$ について, $a>0,\, h>0$ のとき,
$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h), \,(0<\theta<1)$
を満たす $\theta$ を, $a, h$ で表せ。また, 極限 $\displaystyle\lim_{h\to+0}\theta$ を求めよ。

【解答例】
$f(x)=x^3$ より, $f'(x)=3x^2$ であるから, これらを与式に代入すると,
$(a+h)^3=a^3+3h(a+\theta h)^2$
これを $\theta$ について解く。条件より $a+\theta h>0$ であるから,
$\begin{array}{rll}3h(a+\theta h)^2&=&(a+h)^3-a^3\\(a+\theta h)^2&=&\dfrac{(a+h)^3-a^3}{3h}\\a+\theta h&=&\sqrt{\dfrac{(a+h)^3-a^3}{3h}}\\a+\theta h&=&\sqrt{\dfrac{3a^2h+3ah^2+h^3}{3h}}\\a+\theta h&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}}{3}\\\theta h&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}-3a}{3}\\\theta&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}-3a}{3h}\cdots\maru1\end{array}$
$\maru1$ の右辺の分子の有理化を行うと,
$\dfrac{(9a^2+9ah+3h^2)-(3a)^2}{3h\left(\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}+3a\right)}=\dfrac{3a+h}{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}+3a}$
よって,
$\displaystyle\lim_{h\to+0}\theta=\displaystyle\lim_{h\to+0}\dfrac{3a+h}{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}+3a}=\dfrac{3a}{\sqrt{9a^2}+3a}=\dfrac12$
以上より,
$\theta&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}-3a}{3h}$
$\displaystyle\lim_{h\to+0}\theta=\dfrac12$

平均値の定理

問題を見てみよう

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