TikZ：高校数学：積分・定積分と面積(なぜ積分で面積が求まるのか)

こんにちは。今回はなぜ積分で面積が求まるのか書いておきます。

なぜ積分で面積が求まるのか

関数 $y=f(x)$ のグラフが以下のように, $(f(x)>0)$ となっているとき, $a,\, t$ を定数として, 曲線 $y=f(x)$ , $x$ 軸, 2直線 $x=a, x=t\, (a<t)$ で囲まれる図形の面積 $S$ を考える。
$t$ を変数と考えると, $S$ は $t$ の関数となる。その関数を $S(t)$ とおく。

そして, $t$ をほんのわずか $\Delta t$ だけ増加させると, $S=S(t+\Delta t)$ となり, $S$ の増加量 $\Delta S$ は,
$\Delta S=S(t+\Delta t)-S(t)$
となる。 $\Delta t$ を限りなく小さくしていけば, $\Delta S$ は縦 $f(t)$ , 横 $\Delta t$ の長方形と近似することができる。このとき, $\Delta S$ を $\Delta t$ で割り, $\Delta t\to0$ とすると,それは $f(t)$ に近づいていく。
よって,
$\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\underline{\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}}=f(t)$
となり, 下線部は微分の定義より, $S'(t)$ であるから,
$S'(t)=f(t)\cdots\maru1$ が得られる。

$\maru1$ の両辺を積分すると,
$S(t)=F(t)+C\cdots\maru2$ 　( $C$ は積分定数)
このとき, $t=a$ とすると, 面積は $\mathrm{0}$ なので,
$F(a)+C=0$
となり, $C=-F(a)$ が得られ, $\maru2$ は,
$S(t)=F(t)-F(a)$
となる。一般に求める面積は $t=b$ なので,
$S(b)=F(b)-F(a)$
つまりこれは, 曲線 $y=f(x)$ の区間 $a\leqq x\leqq b$ の面積 $S$ を表し,
$S=\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx$
で与えられることが分かる。

なぜ積分で面積が求まるのか

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