TikZ：高校数学：数III積分・区分求積法

こんにちは。今回は区分求積法について書いておきます。

区分求積法とは

関数 $f(x)$ が $a\leqq x\leqq b$ において常に $f(x)\geqq0$ であるとき, $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸, および2直線 $x=a,\, x=b$ で囲まれた面積を $S$ とする。
図のように, 区間 $a\leqq x\leqq b$ を $n$ 等分して, 左から順に, $x_0\,(a), x_1, x_2, \cdots, x_n\,(b)$ とし, 分割の幅を $\Delta x$ とする。このとき, 図にできた $n$ 個の長方形の面積の和 $S_n$ は,
$\begin{array}{lll}S_n&=&f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+f(x_3)\Delta x+\cdots +f(x_n)\Delta x\\&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}f(x_k)\Delta x\end{array}$
ただし, $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ とする。
と表される。この式において, $n$ が十分大きいとき, その値は $S$ の値に近づき, $S$ は $S_n$ において, $n\to\infty$ とした極限値であると考えてもよい。
また, 面積 $S$ は区間 $a\leqq x\leqq b$ における関数 $f(x)$ の定積分として与えられるから,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^n_{k=1}f(x_k)\Delta x=\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx\cdots\maru1$
ただし, $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ , $x_k=a+k\Delta x$
が成り立つ。

このように区間を分割して, その区間の面積を長方形の面積の和(数列の和)の極限として求める方法を, 区分求積法という。
また, この区分求積法において, 長方形の縦の長さは $f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_k)$ としているが, 以下のように, 長方形の縦の長さを $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_{k-1})$ とする方法もある。

この場合の関係式は,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}f(x_k)\Delta x=\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx\cdots\maru2$
ただし, $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ , $x_k=a+k\Delta x$
となる。

①, ②式から重要公式

上の $\maru1$ の式において, $a=0$ , $b=1$ とすると,
$\Delta x=\dfrac{1}{n}$ $x_k=\dfrac{k}{n}$ となるので,
次式が得られる。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\displaystyle\int^1_0 f(x)\,dx$
これを用いて, 数列の和の極限を, 定積分を用いて求められる場合がある。
ちなみに $\maru2$ 式の場合だと,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\displaystyle\int^1_0 f(x)\,dx$
となる。

問題を見てみよう

【例】次の極限を求めよ。
(1)　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}$
(2)　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\left(\cos\dfrac{\pi}{2n}+\cos\dfrac{2\pi}{2n}+\cos\dfrac{3\pi}{2n}+\cdots+\cos\dfrac{n\pi}{2n}\right)$

解答　クリックしてください

【解答例】
(1)
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\dfrac{1}{n+k}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}\\&=&\displaystyle\int^1_0\dfrac{dx}{x+1}\,dx\\&=&\left[\log(1+x)\right]^1_0\\&=&\log2\end{array}$
(2)
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum^n_{k=1}\cos\dfrac{k\pi}{2n}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum^n_{k=1}\cos\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{k}{n}\\&=&\displaystyle\int^1_0\cos\dfrac{\pi}{2}x\, dx\\&=&\left[\dfrac{2}{\pi}\sin\dfrac{\pi}{2}x\right]^1_0\\&=&\dfrac{2}{\pi}\end{array}$

区分求積法とは

①, ②式から重要公式

問題を見てみよう

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