中学数学：展開と因数分解の利用④富山県

利用問題・富山県

正方形の形をした合同な白のタイルと黒のタイルを使い, ア～エの手順で, 下の図のような模様を作っていく。このとき, あとの問いに答えなさい。
【手順】
ア　白のタイルを1個置いたものを1番目とする。
イ　白のタイルを頂点が重なるように, 縦に2個ずつ2列に置き, 白のタイルで囲まれた部分に黒のタイルを置いたものを2番目とする。
ウ　白のタイルを頂点が重なるように, 縦に3個ずつ3列に置き, 白のタイルで囲まれた部分に黒のタイルを置いたものを3番目とする。
エ　以下, このような作業を繰り返して, 4番目, 5番目, $\cdots$ とする。

(1)　6番目の模様について, 白のタイルと黒のタイルの個数をそれぞれ求めなさい。
(2)　 $n$ 番目の模様について, 白のタイルと黒のタイルの個数をそれぞれ $n$ を使った式で表わしなさい。
(3)　それぞれの模様において, タイルの総数は必ず奇数になる。このことを(2)を利用して証明しなさい。
【富山県】