こんにちは。今回はベクトルの内積について書いておきます。
でない2つのベクトル
について, 始点を
として,
,
とするとき,
を,
と
のなす角という。ただし,
とする。
このとき,
をと
の内積という。
または
が
の場合,
とする。
また, 内積は実数である。
また,








ベクトルのなす角は始点をそろえて考える。
下図でと
がなす角は
ではない。
は
が始点であるが,
は
が始点である。したがって, この場合, 始点
を始点
にそろえるよう,
を平行移動させて,
としてなす角を考える。したがって, この場合,
と
のなす角は
になる。
【内積の成分表示】,
のとき,
【ベクトルのなす角】,
のとき, この2つのベクトルのなす角
は,
ただし, のとき, 2つのベクトルは垂直であるといい, 2つのベクトルが平行のとき,
であり, 次式が得られる。
【ベクトルの垂直と平行における内積】,
において,
ただし,
のとき,
,
は同じ向きで平行。
のとき,
,
は反対向きで平行。
【内積の性質】
は実数
,
の証明
の各辺に
をかけて,
なので,
よって,
が成り立つ。
内積の性質を用いると, 整式の展開と同じように計算できる。
など