TikZ：高校数学：平面ベクトル・三角形の重心の位置ベクトル

こんにちは。今回は三角形の重心の位置ベクトルについて書いておきます。

三角形の重心の位置ベクトル

3点 $\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a})$ , $\mathrm{B}(\overrightarrow{ \mathstrut b})$ , $\mathrm{C}(\overrightarrow{ \mathstrut c})$ を頂点とする△ $\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}(\overrightarrow{ \mathstrut g})$ とすると,
$\overrightarrow{ \mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{3}=\dfrac{\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}{3}$

証明

下図のような△ $\mathrm{ABC}$ において, $\mathrm{G}$ は重心で, 位置ベクトルを $\mathrm{A}(\overrightarrow{ \mathstrut a})$ , $\mathrm{B}(\overrightarrow{ \mathstrut b})$ , $\mathrm{C}(\overrightarrow{ \mathstrut c})$ , $\mathrm{G}(\overrightarrow{ \mathstrut g})$ とすれば, $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ の位置ベクトルは $\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{2}$ であり, このとき, 重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルは, $\bekutoru{OG}=\dfrac{\bekutoru{OA}+2\bekutoru{OM}}{1+2}=\dfrac{\bekutoru{OA}+2\bekutoru{OM}}{3}$ であるから,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut g}&=&\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+2\cdot\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{2}}{3}\\&=&\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{3}\end{array}$
以上より,
$\overrightarrow{ \mathstrut g}=\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}+\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}}{3}=\dfrac{\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}{3}$
が成り立つ。

また, 点 $\mathrrn{O}$ と点 $\mathrm{G}$ を一致させて考えた場合, $\overrightarrow{ \mathstrut g}=\bekutoru{GG}=\overrightarrow{ \mathstrut 0}$ になり, このとき, 等式の関係から, $\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}=\bekutoru{GA}+\bekutoru{GB}+\bekutoru{GC}}$ が $\overrightarrow{ \mathstrut 0}$ になる。つまり,
$\bekutoru{GA}+\bekutoru{GB}+\bekutoru{GC}}=\overrightarrow{ \mathstrut 0}$
が成り立つ。

三角形の重心の位置ベクトル

証明

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